L'equazione di Bernoulli è una relazione approssimativa tra pressione, velocità ed altezza ed è valida nel caso di flusso incomprimibile in cui le forze di attrito nette sono trascurabili. L'approssimazione chiave nella derivazione dell'equazione di Bernoulli è questa: "gli effetti viscosi sono trascurabilmente piccoli rispetto a quelli inerziali, gravitazionali e di pressione". Pertanto, l'approssimazione di Bernoulli è tipicamente utile nelle regioni di flusso al di fuori degli strati limite e delle scie, dove il movimento del fluido è governato dagli effetti combinati di pressione e forze di gravità.

$$ \left(z + {p \over \rho g} + {v^2 \over 2g} \right) = COST $$
L'equazione di Bernoulli risulta da un equilibrio di forze lungo una linea di flusso. In sostanza la quantità è costante lungo una linea di flusso

Dimostrazione

Consideriamo una linea di flusso come in figura. Prendiamo un elementino di fluido lungo la linea di flusso e scriviamo per esso l'equazione di Newton (La seconda legge della dinamica) \( \sum F = ma \).

$$ pdA - \left(p+{\partial p \over \partial s}ds\right)dA - dGsen\theta = \rho dsdA\left({\partial v \over \partial t} + {\partial \over \partial s }{v^2 \over 2} \right) $$ $$ -{\partial p \over \partial s}dsdA -gdsdA\rho{dz \over ds} = \rho dsdA\left({\partial v \over \partial t} + {\partial \over \partial s }{v^2 \over 2} \right) $$ $$ {\partial \over \partial s}\left(z+{v^2\over 2g }\right) + {1 \over \rho g}{\partial p\over \partial s} = -{1\over g}{\partial v \over \partial t} $$ facendo l'ipotesi di fluido incomprimibile e moto (permanente) stazionario si ottiene: $$ {\partial \over \partial s}\left(z + {p \over \rho g} + {v^2 \over 2g} \right) = 0 $$

$$ \diamond $$