Un recipiente cilindrico di raggio \( R \), aperto sul bordo superiore, ha un foro circolare di raggio \( r << R\) in corrispondenza del fondo. Si supponga che il recipiente contenga acqua (si assuma che sia incomprimibile e senza viscosità) fino ad una altezza iniziale \( h_o \) rispetto al fondo. Calcolare la velocità con cui l'acqua esce dal foro.

Soluzione

Questo è un classico esercizio in cui bisogna applicare il Teorema di Bernoulli. Per prima cosa bisogna identificare una linea di corrente. Per fare questo prendiamo due punti \(A\) e \(B\) il primo sulla superficie dell'acqua il secondo sul fondo (esisterà una linea di corrente che li unisce). L'equazione di Bernoulli su questa linea di corrente assumerà la forma: $$ {p_A \over \rho} + gz_A + {1\over 2}v_A^2 = {p_B \over \rho} + gz_B + {1\over 2}v_B^2 $$ Siccome il recipiente è aperto le pressioni \( p_A\) e \(p_B\) in realtà coincidino con la pressione atmosferica esterna \(p_{ATM}\). Di conseguenza i proimi due termini si possono elidere dalla relazione (le pressioni non danno contributo) ottenendo:

$$ gz_A + {1\over 2}v_A^2 = gz_B + {1\over 2}v_B^2 $$ Abbiamo ottenuto una equazione in cui compaiono due incognite, per eliminare una delle due incognite possiamo utilizzare la conservazione della massa che ci dice in sostanza che la massa di fluido spostato è costante (se si abbassa il livello di una certa quantità di fluido, vuol dire che la stessa quantità è uscita dal foro). In formule: $$ v_AS_A = v_BS_B $$ Essendo il cilindro (di sezione circolare) la setta relazione si può esprimere in funzione dei raggi \( R \) ed \(r\) come: $$ v_A = \left( {r\over R} \right) ^2v_B $$ Da cui sostituendo nella relazione di Bernoulli ed operando un po di algebra elementare perveniamo alla formula per la velocità $$ gz_A + {1\over 2}v_A^2 = gz_B + {1\over 2}v_B^2 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} gz_A + {1\over 2}\left( {r\over R} \right) ^4v_B^2 = gz_B + {1\over 2}v_B^2 $$ $$ {1\over 2}\left( {r\over R} \right) ^4v_B^2 - {1\over 2}v_B^2 = g(z_A-z_B) $$ $$ {v_B^2\over 2}\left[ \left({r\over R}\right)^4 -1\right] = gh_0 $$ $$ v_B = \sqrt{2gh_0 \over \left({r\over R}\right)^4 -1}$$

$$ \diamond $$