Consideriamo un corpo immerso in un fluido (esempio acqua) avente volume \( V \), superficie \( \Sigma \) e densità (costante) \( \rho \). Sappiamo che la forza agente sul corpo che si trova immerso nel fluido è data dalla seguente formula: $$ F^{(A)} = -\oint_{\Sigma} P\cdot \hat{n} dS $$ Dove \(P \) è la pressione, \( \hat{n}\) il versore normale uscente dalla superficie e \( dS \) l'elemento infinitesimo di superficie. Essendo la forza un vettore, possiamo proiettarlo sugli assi ottenendo le seguenti equazioni scalari: $$ \begin{cases} F_x^{A} = F_x^{A}\cdot \hat{e_x} = -\oint_{\Sigma} P\cdot \hat{n}\cdot \hat{e_x} dS \\ F_y^{A} = F_y^{A}\cdot \hat{e_y} = -\oint_{\Sigma} P\cdot \hat{n}\cdot \hat{e_y} dS \\ F_z^{A} = F_z^{A}\cdot \hat{e_z} = -\oint_{\Sigma} P\cdot \hat{n}\cdot \hat{e_z} dS \end{cases} $$ Applicando il teorema della divergenza perveniamo alle seguenti equazioni equivalenti:

$$ \begin{cases} F_x^{A} = -\int_{V}\nabla\cdot P\hat{e_x} dV = -\int_{V}{\partial P \over \partial x} dV \\ F_y^{A} = -\int_{V}\nabla\cdot P\hat{e_y} dV = -\int_{V}{\partial P \over \partial y} dV \\ F_z^{A} = -\int_{V}\nabla\cdot P\hat{e_z} dV = -\int_{V}{\partial P \over \partial z} dV \\ \end{cases} $$ $$ \downarrow $$ $$ \large F^{(A)} = -\int_{V} \nabla P dV $$

$$ \diamond $$
Caso idrostatico

Sappiamo che un fluido in condizioni statiche soddisfa alla seguente legge fisica (caso particolare dell'equazione dei fluidi)

$$ \nabla P = \rho g $$
Se sostituiamo al posto di \( \nabla P \) il corrispettivo membro destro \( \rho g \) dell'equazione statica otteniamo:
$$ -\int_{V} \nabla P dV = -\int_{V} \rho g dV = -g\int_{V} \rho dV = M_Fg$$
Dove \( M_F\) è La massa di fluido avente volume \( V\) uguale a quella del corpo immerso. Sarebbe quello che viene detto in gergo informale "il fluido spostato". Siamo pronti finalmente per enunciare il principio della spinta di Archimede:


Spinta di Archimede

Un corpo immerso in un fluido è soggetto ad una forza di intensità pari al peso di una massa di fluido avente volume uguale a quello della parte immersa del corpo nel fluido.

$$ \large F^{(A)} = -M_Fg $$
$$ \diamond $$