Coordinate generalizzate

Le coordinate generalizzate sono un esempio di parametri indipendenti (nel senso che non si influenzano l'un l'altro, o meglio: nessuno e funzione di nessun'altro) utili a caratterizzare l'assetto di un sistema meccanico.
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Preso un sistema ad \(N\) particelle, sappiamo che esso ha \( 3N\) gradi di libertà. Se abbiamo \( k\) equazioni della forma \( f_s(r_1, r_2, \ldots, r_n, t) \), allora il numero di gradi di libertà sarà: \( 3N-k\). Ogni volta che siamo in presenza di un sistema in cui vi sono dei vincoli, bisogna estrarre da esso delle relazioni che ci consentono di risolvere il sistema.


Pendolo di lunghezza \( l\)

Un pendolo elementare si ottiene prendendo un filo di lunghezza \( l\) e agganciando da una estremità una sfera immaginaria (punto materiale) e bloccando l'altra ad un supporto tipo il soffitto di casa. Se il pendolo è immerso nello spazio \( 3D\), sappiamo che la lunghezza della corda deve essere costante. Otteniamo in questo modo una relazione \( x^2+y^2+z^2 = l^2\) che ci abbassa di uno: \( 3N-k = 3(1)-1 = 2\) i gradi di libertà:

Pendolo di lunghezza l

Sfera cava

Consideriamo due particelle all'interno di una sfera cava. Quanti sono i gradi di libertà? Dalla figura si osserva che le particelle sono sul bordo della sfera. Possiamo scrivere allora le due relazioni, che esprimono il teorema di pitagora. Indicando con \( x_1, y_1, z_1\) le coordinate della particella \( P_1\) ed \( x_2, y_2, z_2\) quelle di \( P_2\) e con \( R\) il raggio della sfera abbiamo:



$$ \begin{cases} x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = R^2 \\ x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 = R^2\end{cases} $$ Siccome la distanza tra di esse, si suppone essere costante pari ad \( l\), possiamo scrivere un'altra relazione tra le le coordinate delle due particelle: $$ (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2 = l^2 $$
Sfera cava

Abbiamo così ottenuto \( 3\) relazioni sulle coordinate, quindi \( k = 3\). In questo modo i gradi di libertà del sistema si riducono da \( 3N = 3\cdot 2\) a \( 3N-k = 6-3 = 3 \).


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