Caduta dei gravi

Un corpo soggetto all'attrazione gravitazionale, se lasciato cadere da una certa altezza \( h\), viene attratto verso il suolo e compie un moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione \( g\). La forza che descrive questo fenomeno è il peso, la cui espressione è \( mg \). $$ \mathrm F = mg $$

Scegliamo un sistema di riferimento nella configurazione come in figura, con l'asse rivolto verso l'alto. Secondo questa scelta, il segno della forza e quello del riferimento sono opposti, bisogna allora introdurre un segno meno nell'espressione della forza peso: $$ \mathrm F = -mg $$ $$ -mg = m \overset{\large \cdot\cdot}{x} $$ Osservate che la massa \( m\) non incide sulla caduta dei gravi, essa può essere eliminata in ambo i membri. La quantità ottenuta è l'accelerazione gravitazionale. $$ \require{cancel} -\bcancel{m}g = \bcancel{m} \overset{\large \cdot\cdot}{x} $$ $$ -g = \overset{\large \cdot\cdot}{x} $$

Per ricavare le equazioni della cinematica della caduta di un grave, partendo dalla relazione sull'accelerazione, dobbiamo integrare rispetto al tempo

$$ \int(-g) = \int(\overset{\large \cdot\cdot}{x}) \rightarrow -\int g dt = \int(\overset{\large \cdot\cdot}{x}) dt $$ $$ -gt = \overset{\large \cdot}{x} $$ Rieffettuando l'integrazione rispetto al tempo otteniamo le relazioni cercate $$ \begin{cases} x(t) = -{1 \over 2}gt^2 + at + b \\ \overset{\large \cdot}{x}(t) = -gt + a \\ \overset{\large \cdot\cdot}{x}(t) = -g \end{cases} $$
$$ \diamond\diamond\diamond $$
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