La legge di Hooke

Se consideriamo un oggetto solido, esso sperimenta una forza opposta detta elastica se proviamo a piegarlo o stringerlo, l'esempio tipico è una molla. La forza con cui una molla reagisce se proviamo a stringerla o aprire è espresa dalla legge di Hooke, in questo caso abbiamo: $$ \mathrm F = -kx $$

Se proviamo a sostituire la forza elastica nella legge di Newton otteniamo $$ -kx = m\overset{\large \cdot\cdot}{x} $$ Proviamo a risolvere questa equazione differenziale per determinare una o piu soluzioni. Possiamo provare per tentativi. Ad esempio domandiamoci se la legge che stiamo cercando è di tipo quadratico: $$ \begin{cases} x(t) = t^2 \\ \overset{\large \cdot}{x}(t) = 2t \\ \overset{\large \cdot \cdot}{x}(t) = 2 \end{cases} $$ Sostituendo nella relazione abbiamo \( \mathrm -kx = 2m \), che chiaramente non soddisfa alla relazione. Proviamo quindi con delle funzioni circolari, visto che il moto di una molla è oscillatorio. $$ \begin{cases} x(t) = sen(t) \\ \overset{\large \cdot}{x}(t) = cos(t) \\ \overset{\large \cdot \cdot}{x}(t) = -sen(t) \end{cases} $$
Provando a sostituire nella relazione di newton abbiamo \( -k sen(t) = -m sen(t)\). In questo caso sembrerebbe che per \( k=m\) la relazione sia soddisfatta, ma il problema è che le quantità \( k\) ed \( m\) sono dimensionalmente diverse, quindi anche in questo caso, la relazione noo è soddisfatta.

Proviamo ora con un'armonica elementare a pulsazione \( \omega \) ed ampiezza \( x_0\). Ricordo che la pulsazione, nella legge di Hooke è espressa dalla radice \( \sqrt{k \over m} \) $$ \begin{cases} x(t) = x_0sen(\omega t) \\ \overset{\large \cdot}{x}(t) = x_0\omega cos(\omega t) \\ \overset{\large \cdot \cdot}{x}(t) = -x_0\omega^2 sen(\omega t) \end{cases} $$ Sostituendo nella relazione abbiamo: $$ -kx_0sen(\omega t) = -m(x_0\omega^2 sen(\omega t)) $$ $$\require{cancel} -k\bcancel{x_0}\bcancel{sen(\omega t)} = -m(\bcancel{x_0}\omega^2 \bcancel{sen(\omega t)}) $$ $$ k = m\omega^2 \iff \omega^2 = {k \over m} $$ $$ \large \omega = \sqrt{k \over m} $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$
BACK HOME NEXT
YouSciences

Copyright©2018 YouSciences | All rights Reserved
written and designed by Giuseppe Sottile


Supportaci con una donazione