La conservazione dell'energia discende dalla omogeneità del tempo. Questo significa essenzialmente che un'esperimento fisico se fatto oggi oppure domani sotto le stesse condizioni, deve fornire gli stessi risultati (fino a prova contraria).

Per dimostrare questo piccolo teorema, partiamo dalla nostra lagrangiana, che rappresenta la "carta d'identità del sistema fisico" ed imponiamo che essa non dipenda esplicitamente dal tempo.

$$ {\partial L \over \partial t } = 0 $$ $$ {\partial L(q, \overset{\Large\cdot}{q}) \over \partial t} = \sum_i {\partial L \over \partial q}\overset{\Large\cdot}{q} + \sum_i {\partial L \over \partial \overset{\Large\cdot}{q}}\overset{\Large \cdot\cdot}{q}$$

Dalle equazioni di Eulero-Lagrange, possiamo sostituire al termine \( {\partial L \over \partial q} \) il termine \( {d\over dt}{\partial L \over \partial \overset{\Large\cdot}{q}} \), ottenendo:

$${\partial L \over \partial t } = \sum_i {d\over dt}{\partial L \over \partial \overset{\Large\cdot}{q}}\overset{\Large\cdot}{q} + \sum_i {\partial L \over \partial \overset{\Large\cdot}{q}}\overset{\Large \cdot\cdot}{q}$$

Portando tutto sotto un'unica sommatoria, ci si accorge che l'espressione è la derivata di un prodotto. Riordinando (per la linearità della derivata), possiamo portare fuori dalla somma la derivata nel tempo, ottenendo

$$ {d\over dt}\left(\sum_i {\partial L \over \partial \overset{\Large\cdot}{q}}\overset{\Large\cdot}{q} - L \right) = 0 $$

La quantità tra parentesi tonde si indica con \( E\) e rappresenta l'Energia totale del sistema. Essendo nulla la sua derivata essa non cambia nel tempo durante il moto del sistema. Si tratta di uno dei cosiddetti Integrali del moto.

$$ \diamond $$