Le parentesi di Poisson, sono uno strumento estremamente utile in fisica. Si tratta di una versione più sofisticata (se vogliamo) dell'operatore Commutatore incontrato ad algebra lineare applicato ad esempio a due endomorfismi. Mentre nel caso del commutatore si utilizzano le parentesi quadre \( [,]\), nel caso delle parentesi di Poisson si usano le graffe \( \{, \}\). La definizione è la seguente:

$$ \{\mathrm A, \mathrm B \} = {\partial\mathrm A \over \partial q}{\partial\mathrm B \over \partial p} - {\partial\mathrm A \over \partial p}{\partial\mathrm B \over \partial q} $$

Osservate la particolare disposizione dei simboli nella formula della parentesi. Il legame con il commutatore non è un caso. In effetti entrambi (commutatore e parentesi di Poisson) sono manifestazioni di una struttura algebrica chiamata Algebra di Lie. In questo tipo di algebra valgono delle semplici regole, la più importante delle quali caratterizza l'algebra stessa e prende il nome di Identità di Jacobi. Non voglio addentrarmi in questo settore per il momento, ma di seguito riporto le proprietà della parentesi di Poisson ereditate direttamente dalla struttura algebrica di Lie.

Antisimmetria
$$ \{\mathrm A, \mathrm B \} = -\{\mathrm B, \mathrm A \} $$
Bilinearità
$$ \left\{\sum_k c_k\mathrm A_k, \mathrm B \right\} = \sum_k c_k\{\mathrm A_k, \mathrm B \} $$
Identità di Jacobi
$$ \{\mathrm A, \{\mathrm B, \mathrm C \} \} + \{\mathrm B, \{\mathrm C, \mathrm A \} \} + \{\mathrm C, \{\mathrm A, \mathrm B \} \} = 0$$

Un matematico direbbe che si tratta quindi di un operatore algebrico, mentre un fisico teorico, nel caso della meccanica classica, direbbe che si tratta della derivata di Lie nello spazio delle fasi.

$$ \diamond $$