La conservazione della Quantità di moto di un sistema deriva direttamente dalla cosiddetta Uniformità o (omogeneità) dello spazio (ossia il fatto che un esperimento fisico non dipende dal punto in cui viene fatto. Se allungo una molla a casa o la allungo a scuola, o se faccio un esperimento di meccanica a casa e poi lo ripeto esattamente identico da un'altra parte devo ottenere gli stessi risultati (fino a prova contraria).

Per dimostrarlo, pariamo dalla nostra lagrangiana e facciamo vedere che variando di poco la posizione del sistema "in blocco" (facendo uno shift o spostamento infinitesimo) il suo differenzile deve essere zero.

$$ dL = 0 $$

Il differenziale della lagrangiana rappresenta la sua variazione nello spazio. Esso è legato quindi agli spostamenti del sistema nello spazio. Siccome vogliamo operare una traslazione semplice del sistema, consideriamo il caso di un vettore cartesiano. In questo modo, per ogni particella del sistema avremo una traslazione del tipo: $$ r_i \rightarrow r_i + \epsilon $$

Se sviluppiamo il differenziale (considerando \( \epsilon \) uguale per ogni particella, avremo:

$$ dL = \sum_i {\partial L \over \partial r_i}\cdot dr_i = \sum_i {\partial L \over \partial r_i}\epsilon $$ $$ \epsilon \sum_i {\partial L \over \partial r_i} $$

Sostituendo la quantita tra parentesi nella somma con il corrispondente termine nell'equazione di Eulero-Lagrange (e ricordando la linearità della derivata) otteniamo:

$$ \epsilon \sum_i {d\over dt}{\partial L \over \partial \overset{\Large \cdot}{r_i}} = {d\over dt}\left(\sum_i {\partial L \over \partial \overset{\Large \cdot}{r_i}}\right) = 0$$

La quantita tra parentesi si indica con \( P \) è rappresenta la Quantità di moto totale del sistema. Essendo la sua derivata nulla, essa si conserva durante tutto il moto del sistema. Si tratta di uno degli Integrali primi del moto.

$$ \diamond $$