La traslazione complessa è l'altro teorema di traslazione nell'ambito della TdL. Se abbiamo una trasformata \( F(s) \) allora se si sottrae o si somma un valore numerico \( \alpha \), nel dominio di \(s \), questo equivale a moltiplicare per un fattore \( e^{\alpha t}\) nel dominio di \( t \).

$$ { \color{#176199}{\mathcal L}}[f(t)](\color{#ad1d74}{s}-\alpha) = e^{\alpha t}f(t) $$ Infatti, supponendo che \( f(t) \) converga per \( \Re e(s) > \alpha \) $$ \int_0^\infty f(t)e^{-(\color{#ad1d74}{s}-\alpha) t} dt = \int_0^\infty f(t)e^{-\color{#ad1d74}{s}t}e^{\alpha t} dt = $$ $$ = e^{\alpha t}\int_0^\infty f(t)e^{-\color{#ad1d74}{s}t} dt = \color{#176199}{\mathcal L}[e^{\alpha t}f(t)](\color{#ad1d74}{s}) $$ $$\square $$ $$ \diamond \diamond \diamond $$