Una volta definita, la trasformata, bisogna capire con che cosa abbiamo a che fare. Nella definizione compare un integrale, addirittura con un estremo all'infinito (generalizzato). Può accadere che quindi operando la trasformata su una funzione, l'output sia infinito, cioè l'integrale diverge... e quì sono guai. La domanda è come facciamo a sapere quando converge e quando diverge?. Tutto dipende da che funzione gli mandiamo in pasto.

$$ \large L[f(t)](\color{#ad1d74}{s}) = \int_0^T f(t)e^{-\color{#ad1d74}{s}t} dt = F(\color{#ad1d74}{s}) $$

Senza entrare troppo nel "matematico", visto che quì daremo un taglio ingegneristico dell'argomento, se la funzione \( f(t) \) soddisfa a queste due proprietà, la convergenza è garantita.

  • \( f\) generalmente continua in ogni sottointervallo limitato.
  • Funzione di ordine esponenziale \( \alpha\)


$$ \diamond \diamond \diamond $$
L'ascissa di convergenza \( \alpha \)

Una volta garantita la convergenza, a ciascuna funzione trasformata, è associato un "numerino magico": l'ascissa di convergenza. Il nome ci fa capire che si tratta di un numero che ci da informazioni su dove converge l'integrale. L'ascissa di convergenza è un numero reale \( \alpha \in \mathbb R \). L'integrale di Laplace converge nel semipiano destro di \( \alpha \): (\( \Re e(s) > \alpha \)).

Esempio

Consideriamo ad esempio la funzione \( f(t) = 1 \). La sua trasformata di Laplace banalmente è data dall'integrale: $$ L[\color{#2670b5}{1}](\color{#ad1d74}{s}) = \int_0^\infty \color{#2670b5}{1}e^{-\color{#ad1d74}{s}\color{#2670b5}{t}} dt $$ $$ \left[ {e^{-\color{#ad1d74}{s}\color{#2670b5}{t}} \over -\color{#ad1d74}{s}} \right]_0^\infty = \left[ {e^{-(\rightarrow\infty) t}\over -s} - {e^{-0 t}\over -s} \right] = {1\over \color{#ad1d74}{s}} $$ Quindi la trasformata della costante \( 1\) è \( {1\over \color{#ad1d74}{s}} \) e l'ascissa di convergenza è \( \alpha = 0 \). La trasformata esiste a destra di \( 0\).