La prima proprietà che vogliamo vedere (forse la piu semplice di tutte) è la linearità della TdL (d'ora in avanti con "TdL" mi riferirò alla trasformata di Laplace). In sostanza la nostra trasformata è un operatore lineare, vale la sovrapposizione, le "costanti escono" ed "entrano" le somme si conservano ecc.

$$ \diamond \diamond \diamond $$
Omogeneità

La trasformata di una funzione per una costante è la costante per la trasformata della funzione $$ { \color{#176199}{\mathcal L}}[cf(t)](\color{#ad1d74}{s}) = c{ \color{#176199}{\mathcal L}}[f(t)](\color{#ad1d74}{s}) $$ infatti dalla definizione (super-banale): $$ \small = \int_0^\infty cf(t)e^{-\color{#ad1d74}{s}t} dt = c\int_0^\infty f(t)e^{-\color{#ad1d74}{s}t} dt $$ $$\square $$

Linearità

La trasformata di una somma è la somma delle trasformate $$ { \color{#176199}{\mathcal L}}[f(t) + g(t)](\color{#ad1d74}{s}) = { \color{#176199}{\mathcal L}}[f(t)](\color{#ad1d74}{s}) + { \color{#176199}{\mathcal L}}[g(t)](\color{#ad1d74}{s})$$ infatti dalla definizione (ancora super-banale): $$ \small = \int_0^\infty \bigl(f(t)+f(t)\bigr)e^{-\color{#ad1d74}{s}t} dt = \int_0^\infty f(t)e^{-\color{#ad1d74}{s}t} dt + \int_0^\infty g(t)e^{-\color{#ad1d74}{s}t} dt $$ $$\square $$

Sovrapposizione

Mettendo insieme linerità ed omogeneità abbiamo la sovrapposizione (che ricorda la combinazione lineare). Nel caso generale, in cui abbiamo \( n\) funzioni \( f_1(t), \ldots ,f_n(t) \) e altrettante \( n \) costanti: \( c_1, \ldots, c_n \), vale la formula: $$ {\large \color{#176199}{\mathcal L}} \left[\sum_{k=1}^n c_kf_k(t)\right](\color{#ad1d74}{s}) = \sum_{k=1}^n\Bigl( c_k\mathcal { \color{#176199}{\mathcal L}}[f_k(t)](\color{#ad1d74}{s})\Bigr) $$ infatti dalla definizione (banale): $$ \small = \int_0^\infty \left(\sum_{k=1}^n c_kf_k(t)\right)e^{-\color{#ad1d74}{s}t} dt = \sum_{k=1}^n c_k\left(\int_0^\infty f_k(t)e^{-\color{#ad1d74}{s}t} dt \right) $$ $$\square $$