Diamo ora la dimostrazione di un semplice teorema sulle funzioni periodiche: in particolare vale la relazione sull'area sottesa dal grafico di una funzione periodica

$$ {\Large \int_0^T x(t) dt = \int_{x_0}^{x_0+T} x(t) dt }$$

in altri termini significa che: l'area sottesa dal grafico della funzione in un perido è uguale in ogni altro intervallo periodico. La figura in basso dovrebbe chiarire ogni dubbio Infatti il primo membro dell'equazione a sinistra è rappresentato dalla figura in basso (esso è l'area nel periodo da 0 a T)

Quando "shiftiamo" l'intervallo da un certo \( x_0 \) e da esso ci spostiamo esattamente di un periodo fino a \(x_0 + T \) il risultato è uguale

Naturalmente l'area va intesa in senso algebrico quindi le aree vanno prese con il segno: Quindi il risultato nel nostro caso è 0.