Consideriamo la seguente mappa, a cui corrisponde una funzione booleana a 3 variabili e facciamo la seguente osservazione:

Rappresentazione tabulare di f
Rappresentazione di f mediante mappa di Karnaugh

Se prendiamo i raggruppamenti con cardinalità 2, ossia gli 1-cubi aventi \(2^1=2\) caselle sappiamo che l'espressione della funzione come somma dei suoi implicanti è la seguente:

Ebbene, siccome ad ogni raddoppiamento di un K-cubo corrisponde una riduzione del numero di variabili booleane nell'espressione analitica della funzione è conveniente effettuare un raggruppamento a 4 invece che a 2 ottenendo un 2-cubo con \( 2^2= 4\) caselle in totale. In questo caso abbiamo un'unica variabile fissa mentre le altre cambiano il loro valore e l'espressione (implicante) corrispondende è: \(y\).

Un implicante su una mappa di karnaugh, come abbiamo più volte visto, corrisponde ad un raggruppamento per potenze di \(2\) di 1. Esso si dice primo quando non esistono altri implicanti più piccoli (che corrispondono a raggruppamenti più grandi) che implicano la funzione per tutte le configurazioni del sottocubo.

Per farla breve stiamo dicendo che nelle mappe bisogna effettuare raggruppamenti massimi. Nell'esempio abbiamo mostrato che non conviene fare raggruppamenti a 2 quando ne esiste uno da 4. In effetti i raggruppamenti da due \(\overline{x}y, \overline{y}z, xy, yz \) sono implicanti, ma non primi, ciascuno di essi preso singolarmente non è primo perchè esiste un raggruppamento più grande (quello da 4) che lo include.

Bisogna quindi ricordarsi che:

  • A raggruppamenti massimi corrispondono semplificazioni massime
  • A raggruppamenti minimi, corrispondono semplificazioni minime

Detto questo possiamo enunciare la seguente proprietà che è diretta conseguenza delle cose dette finora:

Una funzione booleana si può esprimere come la disgiunzione (somma logica) dei suoi implicanti primi. $${\large f = \overset{n}{\underset{j=1}{\LARGE \oplus}} K'_j }$$
$$ \diamond $$