Il motivo di aver introdotto la rappresentazione delle funzioni mediante le mappe di Karnaugh, risiede nel fatto che esse sono un potentissimo strumento per la ricerca degli implicanti di una funzione e come ribadito più volte, della loro semplificazione e ci permettono di agirare i passaggi algebrici per ridurre le espressioni booleane ed ottenerne altre equivalenti.

Per mostrarvi come si usano le mappe, consideriamo una funzione a tre variabili \( f: B^3 \rightarrow B \) dove \( B = {0, 1} \) è il supporto o l'insieme di definizione delle funzioni. Una rappresentazione tabulare della funzione è data di seguito.

Rappresentazione tabulare di f
Rappresentazione di f mediante mappa di Karnaugh

Ora voi sapete che è possibile esprimere una funzione in due forme canoniche dette rispettivamente: \(1^a\) forma normale \(SP\) e \(2^a\) forma normale \(PS\). Nella forma "SP" (Somme di Prodotti) la funzione si esprime come la somma o la congiunzione dei prodotti detti mintermini o minterm, mentre nella seconda forma "PS" (Prodotti di Somme), la funzione si esprime come prodotto o disgiunzione delle somme dette maxtermini o maxterm.

Ebbene, un implicante è un termine prodotto che nella mappa corrisponde ad un raggruppamento di celle adiacenti contenenti 1.

Questi raggruppamenti, chiamati in gergo tecnico K-cubi possono essere solo multipli di potenze di \(2\) e corrispondono alla semplificazione di Robinson delle espressioni in prima forma normale.


Se esprimiamo la funzione in prima forma normale essa è la somma dei suoi mintermini, i quali corrispondono nella mappa ad 1-cubi, ossia a raggruppamenti costituiti da un singolo elemento 1.

$$ {\LARGE f(x, y, z) = \overline{x}y\overline{z} + \overline{x}yz + x\overline{y}z + xyz } $$
$$ {\LARGE f(x, y, z) = \overline{x}y\overline{z} + x\overline{y}\overline{z} + x\overline{y}z + xyz } $$

\( f(x, y, z) = \overline{x}y\overline{z} + x\overline{y}\overline{z} \) \( + x\overline{y}z + xyz \)

Ed ora entra qui in gioco il metodo di Karnaugh! Eseguiamo i raggruppamenti a 2 invece che a 1. I raggruppamenti si possono svolgere solo verticalmente o orizzontalmente (come se stesse muovendo una torre in una scacchiera e non l'alfiere). Ad ogni raddoppiamento di un K-cubo corrisponde un passo di applicazione della regola li robinson, quindi se operiamo una fusione delle due celle iin alto a destra: $$ \square_5 + \square_4 = \square_{5,4} $$ ciò corrisponde ad aver effettuato la seguente semplificazione algebrica: $$ {\large \overline{x}y\overline{z} + \overline{x}yz = \overline{x}y(\overline{z} + z) = \overline{x}y }$$ Ma ora qual è il legame del termine \(\overline{x}y\) con il 2-cubo sulla mappa? La risposta è relativamente semplice se avete studiato l'interpretazione di Veich delle mappe



REGOLA DI RAGGRUPPAMENTO
In un raggruppamento si considerano le variabili fisse mentre spariscono quelle che compaiono dirette e negate.

Se infatti guardate gli indici noterete che l'indice di riga rimane fisso per entrambe le celle del 2-cubo: ( 011, 010, esso vale 0) quindi la x va presa negata. Sugli indici di colonna invece solo la y rimane fissa e vale 1: 011, 010 (essa va presa diretta) mentre la z assume il suo valore e l'opposto; va eliminata dal termine prodotto). possiamo quindi affermare che l'applicazione del raggruppamento ha eliminato una variabile e trasformato due (mintermini) a tre variabili in un termine (implicante) a due variabili.