La porta logica XOR è l'operatore disgiunzione esclusiva logica o anche differenza simmetrica per il semplice fatto che essa si ottiene come \( x \oplus y = \overline{x}y + x\overline{y} \). E' possibile rappresentare l'operatore XOR nei seguenti modi

\( \Large x\oplus y \)

Notazione analitica

\( \Large \mathrm{XOR(x, y)} \)

Notazione operatoriale

Porta XOR

Simbolo standard

Porta XOR

Simbolo IEEE


$$ \diamond\diamond $$
Tavola di Verità

Di seguito riporto la tavola di verità della porta XOR a \( 2\) e \( 3\) variabili. Osservate la caratteristica della porta XOR che è quella per cui il valore finale è \( 0\) se e soltanto se tutti gli hanno un numero dispari di \(1\). Questa caratteristica rende l'operatore XOR utilissimo quando bisogna comparare dei bit, infatti viene spesso impiegato per la validazione e la correzione degli errori nelle telecomunicazioni.

$$ \begin{array}{rrr|r} x & y & z = xy \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} $$
$$ \begin{array}{rrr|r} x & y & z & z = xyz \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} $$

$$ \diamond\diamond $$
Forma generalizzata

Nella forma generalizzata ad \( n\) variabili, la porta \( \mathrm{XOR} \) presenta \( n\) ingressi ed una singola uscita. Matematicamente essa corrisponde ad una sorta di comparatore ad \( n\) ingressi che vale \( 1\) solo quando un numero dispari di ingressi vale \( 1\)

Xor generalizzato

Porta XOR ad \( n\) variabili

$$ \large \mathop{\bigoplus}_{i=1}^{n} X_i $$

$$ \diamond\diamond $$

Osservate che nella versione a \( 2 \) bit l'operatore XOR vale \( 1\) quando gli ingressi sono differenti e \( 0\) quando sono eguali. La porta XOR è un operatore più sofisticato rispetto ai classici AND OR e NOT, infatti esso si può costruire attraverso i seguente circuiti, di cui il primo è quello più impiegato:

Circuito XOR
Circuito XOR
Circuito XOR

$$ \diamond\diamond $$
Interpretazione Insiemistica

Volendo visualizzare graficamente l'azione di una porta XOR possiamo impiegare i diagrammi di Eulero-Venn tipici della teoria degli insiemi. Osservate che la porta XOR corrisponde alla differenza simmetrica insiemistica \( X - Y \cup Y - X \).

Differenza Simmetrica

Porta XOR a 2 variabili $$ \large X \cap Y $$

Differenza Simmetrica

Porta XOR a 3 variabili $$ \large X \cap Y \cap Z $$

Differenza Simmetrica

Porta XOR ad n variabili $$ \large \mathop{\bigcup}^{n}_{i=1} X $$


$$ \diamond\diamond $$
Mappa di Karnaugh

Le Mappe di Karnaugh delle porte XOR sono note in ambito delle reti logiche, come mappe a scacchiera per come sono disposti gli \( 1\) e gli \( 0\) nelle tavole di verità.

Mappa XOR K2

Mappa di Karnaugh K2

Mappa XOR K3

Mappa di Karnaugh K3

Mappa XOR K4

Mappa di Karnaugh K4


$$ \diamond $$