Siamo finalmente giunti al cuore dell'argomento. In questa pagina scopriremo il significato del primo membro dell'equazione, ossia \( \nabla \cdot \mathrm E\). Questa espressione prende il nome di divergenza del campo elettrico e si ottiene come prodotto scalare di nabla con il campo elettrico.

Consideriamo il campo elettrico \( \mathrm E \) espresso secondo la decomposizione vettoriale assieme all'operatore nabla, anch'esso espresso secondo la decomposizione vettoriale in \( \mathbb R^3 \). $$ \nabla \equiv \begin{pmatrix} {\partial \over \partial x} \\ {\partial \over \partial y} \\ {\partial \over \partial z} \end{pmatrix} \hspace{3cm} \mathrm E = \begin{pmatrix} \mathrm E_x(x, y, z) \\ E_y(x, y, z) \\ E_z(x, y, z) \end{pmatrix} $$

Se effettuiamo il prodotto scalare di nabla con il campo elettrico otteniamo una funzione scalare (campo scalare) chiamato divergenza. il significato di questo operatore, vi anticipo descrive il comportamento del campo, in particolare se questo converge o diverge in un qualche intorno dello spazio.

$$ \diamond $$
Il calcolo della divergenza di \( \mathrm E \)

Operiamo ora il prodotto scalare per ottenere l'espressione della divergenza in coordinate cartesiane, in basso vi mostrerò un metodo alternativo per ottenere lo stesso risultato che sto per mostrarvi. $$ \langle \begin{pmatrix} {\partial \over \partial x} \\ {\partial \over \partial y} \\ {\partial \over \partial z} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \mathrm E_x(x, y, z) \\ E_y(x, y, z) \\ E_z(x, y, z) \end{pmatrix} \rangle = \sum_{j=1}^n {\partial \over \partial x_j}\mathrm E_j(x, y, z) $$ $$ \downarrow $$ $$ \sum_{j=1}^n {\partial E_j \over \partial x_j}(x, y, z) = {\partial E_x \over \partial x} + {\partial E_y \over \partial y} + {\partial E_z \over \partial z} $$

Attenzione a non confondere la divergenza con il gradiente. Osservate, che l'espressione ottenuta non è un vettore, ma uno scalare (o meglio: un campo scalare). Spesso gli autori amano esprimere la divergenza tradizionalmente con la parola \( div \), in questo senso possiamo scrivere in maniera del tutto equivalente: $$ div\mathrm E = {\partial E_x \over \partial x} + {\partial E_y \over \partial y} + {\partial E_z \over \partial z} $$