Si chiama prodotto scalare un'operazione che associa a due vettori un numero. $$ \langle \mathbb R^n , \mathbb R^n \rangle \longrightarrow \mathbb R $$ Nelle equazioni di maxwell, abbiamo indicato il prodotto scalare con il punto "\(\cdot\)". Il prodotto scalare ha sia un'interpretazione fisica che geometrica, di seguito nelle righe che seguono cercheremo di entrare nei dettagli.

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Prodotto scalare per componenti

Supponiamo di prendere due vettori in \( \mathbb R^3 \); \( v\) e \( w\). Se consideriamo un sistema di riferimento \( Oxyz\), ai vettori, possiamo associare le relative componenti cartesiane, che si ottengono proiettando il punto perpendicolarmente sugli assi \( x\), \( y\) e \(z\). Si scrive quindi:

$$ v \equiv \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \hspace{3cm} w \equiv \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}$$

Quando conosciamo le componenti cartesiane dei vettori, possiamo calcolarne il prodotto scalare attraverso la seguente formula: $$ \large \langle \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} \rangle = \sum_{j=1}^n v_jw_j $$

Il risultato della somma dei prodotti delle componenti corrispondenti, può essere sia positivo, sia negativo che nullo. Questi tre casi sono correlati alla geometria dei vettori nello spazio.

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Mutue posizioni vettoriali

Geometricamente il prodotto scalare è correlato al modo in cui, due vettori - es:\( v\) e \( w\) sono orientati nello spazio. Se il prodotto scalare è positivo, i due vettori formano un angolo acuto (\(\theta< 90°\)), se è negativo, un angolo ottuso (\(90° < \theta < 180°\)), se è nullo un angolo retto (\( \theta = 90°\)). L'idea ci viene dalla fisica, in particolare dal concetto di lavoro di una forza: infatti se i due vettori rappresentano; il primo lo spostamento di un corpo ed il secondo una forza che agisce sul corpo, allora il prodotto scalare rappresenta il lavoro compiuto dalla forza per spostare il corpo stesso.

Conoscendo il concetto di norma di un vettore o modulo, possiamo dare una definizione alternativa di prodotto scalare, molto importante che lega l'angolo alle norme dei vettori assieme al loro prodotto scalare: $$ \large \langle v, w \rangle = ||v||||w||cos(\theta) $$ $$ \large \langle \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} \rangle = \sqrt{\sum_{j=1}^3v_j^2} \sqrt{\sum_{j=1}^3w_j^2} cos(\theta) $$

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