Consideriamo uno s.v. \( \mathrm V \) su un campo scalare \( \mathbb K\). Consideriamo un endomorfismo \( T: \mathrm V \rightarrow \mathrm V \). Ricordo che un endomorfismo è un'applicazione lineare di uno spazio in se stesso. Il problema che vogliamo risolvere è espresso dalla semplice equaizone: $$ \mathrm V(x) = \lambda x $$

Che cosa significa? Anzitutto cerchiamo di capire chi sono gli oggetti del discorso:

  • \( \lambda \) è uno scalare appartenente al campo \(\lambda \in \mathbb K \)
  • \( x \) è un vettore (non nullo) dello spazio \( x \in \mathrm-0 \)

L'equazione ci sta semplicemente ponendo la seguente domanda: Quali sono i vettori, oppure esistono dei vettori \( x\), la cui trasformazione è una semplice dilatazione o contrazione?. Come vedete stiamo esprimendo la trasformazione di \(x\) come il prodotto di uno scalare \( \lambda \) per \( x\) stesso. Se questa equazione ammette soluzione, cioè se esistono questi vettori speciali che soddisfano a questa relazione allora possiamo affermare che, per definizione

  • \( \Large \lambda \) si dice autovalore della trasformazione
  • \( \Large x \) si dice autovettore della trasformazione




Spettro di un endomorfismo
L'insieme di tutti gli autovalori di \( \mathrm T\), si chiama spettro di \( \mathrm T \). $$ Sphc(\mathrm T ) = \left\{ \lambda \in \mathbb K \hspace{1mm}|\hspace{1mm} \mathrm T(x) = \lambda x \right\} $$

Nelle prossime pagine approfondiremo la questione relativa al problema degli autovalori ed autovettori.

$$ \diamond $$