Abbiamo visto che ogni forma quadratica si può rappresentare con una matrice quadrata simmetrica. Siccome ogni matrice simmetrica di ordine \(n\) possiede esattamente \( n \) autovalori reali, per determinare la segnatura dobbiamo semplicemente calcolare questi autovalori, dopodiché va fatto il seguente conteggio:

  • \( n_+ \): Corrisponde al numero di autovalori positivi
  • \( n_- \): Corrisponde al numero di autovalori negativi
  • \( n_0 \): Corrisponde al numero di autovalori nulli

in questo modo, vi faccio osservare che vale anche la relazione tra gli indici di inerzia ed il numero di variabili coinvolte \(n = n_0 + n_- + n_+ \).

ESEMPIO

Consideriamo la forma quadratica \( q(x, y) = 2x^2 + 6xy + 4y^2 \). La matrice della forma sarà: $$ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ Dalla teoria degli autovalori, sappiamo che il determinante della matrice ne rappresenta il prodotto (degli autovalori), di conseguenza: $$det\begin{Vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{Vmatrix} = (2\cdot 4- 3^2) = 8-9 = -1 $$ Siccome il prodotto degli autovalori è negativo, allora avranno segno diverso, di conseguenza:

  • \( n_+ = 1\)
  • \( n_- = 1\)
  • \( n_0 = 0\)

Quindi la forma è indefinita.

$$ \diamond $$