Per capire il Metodo di Sylvester bisogna avere ben chiaro il concetto di minore orlato di una matrice, o più in generale di come si orla una matrice (se non lo sai puoi guadrare nella sezione apposita di questo corso). Detto questo, supponendo di considerare una matrice quadrata, il metodo di Sylvester è un algoritmo che si compone dei seguenti passi

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$

  1. Calcolo tutti i minori orlati partendo dall'elemento in alto a sinistra \( a_{11}\):
    (dovranno essere tutti \( \neq 0 \) )
    $$ \begin{vmatrix} a_{11} \end{vmatrix}, \hspace{2cm} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \hspace{2cm} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$

  2. Scrivo la successione dei segni dei determinanti ed aggiungo un segno \( + \) a sinistra:
    $$ \color{#990000}{+}--++-+-+-+++--+-+ $$

  3. Faccio il seguente conteggio degli indici:

    • \( n_0 \): (è sempre \(0\)).
    • \( n_+ \): Corrisponde al numero di permanenze di segno nella successione ottenuta.
    • \( n_- \): Corrisponde al numero di variazioni di segno nella successione ottenuta.


$$ \diamond $$