Una matrice si dice ortogonale quando la sua inversa è uguale alla sua trasposta. $$ A^T = A^{-1} $$ Se questo accade, allora si ha che: $$ A^TA = A^{-1}A = I $$


ESEMPIO

La matrice \( A \) è ortogonale $$ A = \begin{pmatrix} {3\over 7} & {2\over 7} & {6\over 7} \\ -{6\over 7} & {3\over 7} & {2\over 7} \\ {2\over 7} & {6\over 7} & -{3\over 7} \\ \end{pmatrix}$$ Infatti, provando ad eseguire il prodotto \( A^TA \) abbiamo che: $$ A^TA = \begin{pmatrix} {3\over 7} & -{6\over 7} & {2\over 7} \\ {2\over 7} & {3\over 7} & {6\over 7} \\ {6\over 7} & {2\over 7} & -{3\over 7} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {3\over 7} & {2\over 7} & {6\over 7} \\ -{6\over 7} & {3\over 7} & {2\over 7} \\ {2\over 7} & {6\over 7} & -{3\over 7} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = I $$

Anche questa matrice speciale è ortogonale (dico speciale perchè la incontreremo spesso in altri contesti) $$ \Phi = \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(-\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{pmatrix}$$ Questa è una matrice che rappresenta una rotazione antioraria (di un angolo \( \theta \)) rispetto ad un certo asse. Riprovando il giochino del prodotto con la trasposta avremo lo stesso effetto: $$ \Phi^T\Phi = \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) \\ sin(-\theta) & cos(\theta) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(-\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0& 1 \end{pmatrix} = I $$
$$ \diamond $$