Quando moltiplichiamo una colonna per una riga (non è necessario che essi siano della stessa dimensione), cosa invece necessaria nel prodotto di una riga per una colonna. Il risultato è una matrice che ha per righe la dimensione della colonna, e numero di colonne pari alla dimensione della riga. $$ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_{1} & a_{1} & \ldots & a_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mn} \\ \end{pmatrix} $$

La regola per calcolare l'elemento \(c_{ij}\) si ottiene moltiplicando l'elemento \(i\) della colonna per l'elemento \( j\) della riga $$ \large c_{ij} = a_i \cdot b_j $$ $$ \begin{pmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & \ldots & a_1b_n \\ a_2b_1 & a_2b_2 & \ldots & a_2b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_mb_1 & a_mb_2 & \ldots & a_mb_n \\ \end{pmatrix} $$
ESEMPIO

Calcolare il seguente prodotto $$ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \end{pmatrix} $$
Sappiamo che il risultato sarà una matrice \( 4 \cdot 2\) Andiamo a calcolare i componenti $$ \hspace{1cm} \begin{pmatrix} (1 \cdot 1) & (1 \cdot -1) \\ (-1 \cdot 1) & (-1 \cdot -1) \\ (3 \cdot 1) & (3 \cdot -1) \\ (2 \cdot 1) & (2 \cdot -1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 3 & -3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = $$

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