Il prodotto tra una matrice ed un vettore si può fare a patto che il numero di colonne della matrice sia della stessa dimensione del vettore; in questo caso possiamo scrivere che: $$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{pmatrix} $$

Supponendo che la matrice abbia \( m\) righe ed \( n\) colonne, secondo la regola della compatibilità delle dimensioni nel prodotto, avremo una matrice \( m\cdot 1\) ossia un vettore ad \( m\) righe. Ogni componente \( i\)-esima di questo vettore (\(c_i\)) sarà il prodotto della riga \( i\)-esima per l'unica colonna \( b\). $$ \large c_i = \sum_{s=1}^n a_{is}b_s $$ $$ c = A\cdot b = \begin{pmatrix} \sum_{s=1}^n a_{1s}b_s \\ \sum_{s=1}^n a_{2s}b_s \\ \vdots \\ \sum_{s=1}^n a_{ns}b_s \\ \end{pmatrix} $$
ESEMPIO

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1)\cdot 0 \\ 3 \cdot 1 + (-1)\cdot(-1) + 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} $$

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