Il prodotto di un vettore (riga) per una matrice con lo stesso numero di righe pari alla dimensione del vettore genera un nuovo vettore della stessa dimensione del numero di colonne della matrice. $$ \begin{pmatrix} b_{1} & b_{2} & \ldots & b_{m} \end{pmatrix} \cdot = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{m} \end{pmatrix} $$

La regola per calcolare l'elemento \(c_{i}\) si ottiene svolgendo il prodotto del vettore per l'\(i\) esima colonna della matrice. Si ottiene quindi un "vettore di prodotti scalari". $$ \large c_{i} = b \cdot A^{(i)} = \sum_{j=1}^m b_j\cdot a_{ji} $$ $$ \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^n b_j\cdot a_{j1} & \sum_{j=1}^n b_j\cdot a_{j2} & \ldots & \sum_{j=1}^n b_j\cdot a_{jm} \\ \end{pmatrix} $$
ESEMPIO

Calcolare il seguente prodotto $$ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Sappiamo che il risultato sarà un vettore \( 1 \cdot 2\) Andiamo a calcolare i componenti $$ \small \hspace{1cm} \begin{pmatrix} (2 \cdot 1) + (-1 \cdot -1) + (0 \cdot 0) & (2 \cdot 4) + (-1 \cdot -1) + (0 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 + 0 & 8 + 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 9 \end{pmatrix} $$

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