Esiste una relazione particolarmente interessante tra gli integrali curvilinei e qulli di forme differenziali. Di seguito una breve spiegazione che motiva questo legame.


sappiamo che un integrale di una forma, può essere espresso come integrale su una curva da \( a\) a \(b\) quando riusciamo a parametrizzarla. Riprendiamo l'espressione: $$ \large \int_\gamma \omega = \int_a^b \sum_{i=1}^n \mathrm A_i\bigl(\gamma(t)\bigr)\overset{\Large \cdot}{\gamma_i}(t)dt $$ Possiamo guardare la formula in due modi differenti, enfatizzando l'integranda (a sinistra) oppure la sommatoria (a destra) con delle parentesi. osservate che mentre a sinistra l'espressione ci ricorda il classico integrale "in \( dt\)", se guardiamo a destra, compare l'espressione \( \overset{\Large \cdot}{\gamma_i}(t)dt\) che rappresenta il "differenziale \( i\)-esimo \( d\gamma_i\) del vettore tangente".

$$ \int_a^b \Bigl( \sum_{i=1}^n \mathrm A_i\bigl(\gamma(t)\bigr) \overset{\Large \cdot}{\gamma_i}(t)\Bigr)dt \hspace{5cm} \int_a^b \Bigl( \sum_{i=1}^n \mathrm A_i\bigl(\gamma(t)\bigr)\Bigr) \overset{\Large \cdot}{\gamma_i}(t)dt $$ $$ \int_a^b \Bigl( \sum_{i=1}^n \mathrm A_i\bigl(\gamma(t)\bigr) \overset{\Large \cdot}{\gamma_i}(t)\Bigr)dt \hspace{2cm} \int_a^b \Bigl( \sum_{i=1}^n \mathrm A_i\bigl(\gamma(t)\bigr)\Bigr) \overset{\Large \cdot}{\gamma_i}(t)dt $$ $$ \int_a^b \Bigl( \sum_{i=1}^n \mathrm A_i\bigl(\gamma(t)\bigr) \overset{\Large \cdot}{\gamma_i}(t)\Bigr)dt $$ $$ \int_a^b \Bigl( \sum_{i=1}^n \mathrm A_i\bigl(\gamma(t)\bigr)\Bigr) \overset{\Large \cdot}{\gamma_i}(t)dt $$

Se se moltiplichiamo e dividiamo per la quantità \( || \overset{\Large\cdot}{\gamma_i}(t) || \), otteniamo un'interpretazione fondamentale che lega gli integrali delle forme differenziali a quelli sulle curve. Infatti: $$ \int_a^b \Biggl( \sum_{i=1}^n \mathrm A_i\bigl(\gamma(t)\bigr) { \overset{\Large \cdot}{\gamma_i}(t) \over || \overset{\Large\cdot}{\gamma_i}(t) || } \Biggr) || \overset{\Large\cdot}{\gamma_i}(t) || dt $$ Dove la quantità \( || \overset{\Large\cdot}{\gamma_i}(t) || dt \) è il versore tangente alla curva \( \gamma\), che possiamo indicare con \( \hat \tau\).

Ad esempio, in \( \mathbb R^2 \) avremo che: $$ \int_a^b \left( \mathrm A\Bigl( x(t), y(t) \Bigr) { \overset{\large\cdot}{x} \over \sqrt{\overset{\large\cdot}{x}^2 + \overset{\large\cdot}{y}^2} } + \mathrm A\Bigl(x(t), y(t) \Bigr) { \overset{\large\cdot}{x} \over \sqrt{\overset{\large\cdot}{x}^2 + \overset{\large\cdot}{y}^2} } \right)\sqrt{\overset{\large\cdot}{x}^2 + \overset{\large\cdot}{y}^2}dt $$

$$ \diamond $$