Di tutte le forme differenziali, una classe sono estremamente importanti, perchè si possono mettere in relazione ad altri concetti dell'analisi e della fisica, inoltre per esse valgono delle proprietà peculiari, queste forme si chiamano forme differenziali esatte


1-Forma differenziale esatta

Una forma differenziale si dice esatta quando è il "differenziale di qualcosa". Cioè (nel caso più semplice) se esiste una funzione il cui differenziale corrisponde alla forma: $$ \large \omega = df $$ In questo caso la \( f\) prende il nome di primitiva della forma differenziale ed i coefficienti corrispondono proprio alle sue derivate parziali (dalla regola di derivazione per funzioni di più variabili).

$$ \omega = \sum_{i=1}^n {\partial f \over \partial x_i}dx_i = {\partial f \over \partial x_1}dx_1 + \ldots + {\partial f \over \partial x_n}dx_n $$ $$ \omega = \sum_{i=1}^n {\partial f \over \partial x_i}dx_i = {\partial f \over \partial x_1}dx_1 + \ldots + {\partial f \over \partial x_n}dx_n $$ $$ \omega = \sum_{i=1}^n {\partial f \over \partial x_i}dx_i $$ $$\downarrow$$ $${\partial f \over \partial x_1}dx_1 + \ldots + {\partial f \over \partial x_n}dx_n $$
$$ \diamond $$