La definizione di limite finito al finito è identica a quella dell'analisi UNO, cambiano solo gli oggetti con cui si ha a che fare (le loro dimensioni). Infatti nell'analisi UNO, si opera in ambito scalare (con intervalli e numeri - "singoletti"), mentre in Analisi DUE, si opera, come detto, in ambito vettoriale (con intorni e gruppi di scalari), ma le definizioni sono praticamente identiche nella struttura. Si tratta solo di andare a generalizzare concetti già visti.

SETTING


\( [\mathrm A \subseteq \mathbb R^n ] \)
un sottoinsieme dello spazio
\( [f: \mathrm A \subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R ] \)
una funzione di più variabili
\( [x_0 \in \mathrm A] \)
un punto del dominio

Supponiamo di operare a dimensione due: \( n=2\). Consideriamo una funzione \(f: \mathrm A \subseteq \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \) ed un punto di accumulazione \( x_0 \) (dove non è necessario che li, sia definita la funzione), per studiare il comportamento della funzione in \( x_0 \) ci avviciniamo sempre più ad esso e vediamo cosa accade all'immagine \( f(x_0) \).

$$ \lim_{\vec{x} \rightarrow \vec{x_0}} f(\vec{x}) = l \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta_{\epsilon} > 0, t.c. 0 < ||x-x_0||_{\mathbb R^2} < \delta_{\epsilon} \Rightarrow |f(x_0)-l| < \epsilon$$ $$ \lim_{\vec{x} \rightarrow \vec{x_0}} f(\vec{x}) = l \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta_{\epsilon} > 0, t.c. 0 < ||x-x_0||_{\mathbb R^2} < \delta_{\epsilon} \Rightarrow |f(x_0)-l| < \epsilon$$ $$ \lim_{\vec{x} \rightarrow \vec{x_0}} f(\vec{x}) = l \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta_{\epsilon} > 0, t.c. 0 < ||x-x_0||_{\mathbb R^2} < \delta_{\epsilon} \Rightarrow |f(x_0)-l| < \epsilon$$

Dove \( ||x||_{\mathrm R^n} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2} \) - rappresenta il modulo (norma) del vettore, quindi: $$ ||x-x_0||_{\mathbb R^n} = \sqrt{(x_1-x_{0,1})^2 + (x_2-x_{0,2})^2 + \ldots + (x_n-x_{0,n})^2} = \sqrt{\sum_{j=1}^n (x_j-x_{0,j})^2} $$

$$ \diamond\diamond\diamond $$ Geometricamente, il tutto è espresso dalla seguente figura:

Il significato, si riassume dicendo che: scelto un valore soglia \( \epsilon > 0\); più ci avviciniamo ad \( x_0\) (e questo è espresso da \( 0 < ||x-x_0||_{\mathbb R^2} \)), più la funzione si avvicina al limite (e questo è espresso da: \( 0 < ||x-x_0||_{\mathbb R^2} < \epsilon\)) per qualunque scelta di \( \epsilon \).

$$ \diamond $$