Introduciamo due concetti di base nell'ambito delle coordinate curvilinee: le superfici coordinate e le linee coordinate. In questo modo riuscirete a visualizzare con l'"occhio della mente" cosa accade nello spazio.

superfici e linee coordinate curvilinee

Superfici coordinate

Una superficie coordinata u-superficie si ottiene quando manteniamo costante una delle tre coordinate e facciamo assumere tutti i valori alle altre due rimanenti. Infatti

  • Se facciamo variare tutte e 3 le coordinate stiamo descrivendo tutto lo spazio \( \color{#b52266}{(x, y, z)} \)
  • Se facciamo variare solo 2 coordinate e ne manteniamo 1 costante stiamo desrivendo un oggetto B-dimensionale: la nostra superficie coordinata. Di queste superfici coordinate ne abbiamo 3, perchè i casi in cui una sola coordinata si mantiene fissa sono 3 (la dimensione dello spazio in questione). Quindi le superfici coordinate di \( \mathbb R^2\) sono \( 2\), quelle di \( \mathbb R^3\) sono \( \mathbb 3\) e così via...
    \( \color{#b52266}{s_1(x, y) = (x, y, z_0)} \),   \( \color{#b52266}{s_2(x, z) = (x, y_0, z)} \),  \( \color{#b52266}{s_3(y, z) = (x_0, y, z)} \)

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Linee coordinate

Cosa accade se facciamo variare una sola coordinata e fissiame le altre \( 2\) rimanenti? Otteniamo una linea coordinata o u-linea

  • Se facciamo variare una sola coordinate e ne manteniamo 2 fisse stiamo desrivendo un oggetto 1-dimensionale: la nostra linea coordinata. Di queste linee coordinate ne abbiamo 3, perchè i casi in cui una sola coordinata varia sono 3 (la dimensione dello spazio in questione). Quindi le linee coordinate di \( \mathbb R^2\) sono \( 2\), quelle di \( \mathbb R^3\) sono \( \mathbb 3\) e così via...
    \( \color{#b52266}{l_1(x) = (x, y_0, z_0)} \),   \( \color{#b52266}{l_2(y) = (x_0, y, z_0)} \),  \( \color{#b52266}{l_3(z) = (x_0, y_0, z)} \)

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