Siamo pronti ora, per enunciare la formula di De Moivre per il calcolo delle potenze in forma trigonometrica. La formula di De Moivre ci sarà molto utile quando dovremo (tra breve) calcolare le radici complesse; lì in quell'ambito vedremo come nell'insieme dei numeri complessi sia sempre possibile estrarre qualunque tipo di radice su qualunque tipo di numero.

Per trovare la formula della potenza, osserviamo che, per quando abbiamo visto rispetto al prodotto in forma trigonometrica, si tratta ora di moltiplicare ripetutamente uno stesso numero complesso per se stesso. Abbiamo visto che il modulo, in un prodotto, è il prodotto dei moduli (ora se moltiplichiamo un complesso per se stesso \( n\) volte il suo modulo sarà l'ennesima potenza del modulo di partenza \( \rho \rightarrow \rho^n \); l'argomento (abbiamo dimostrato che è la somma degli argomenti), quindi avremo che l'argomento si sommerà \(n\) volte \( \rightarrow n\theta \). Risulta assai semplice dato il numero complesso \( z = \rho(\cos\theta +i\sin\theta) \) e fatte le dovute considerazioni ricavare la formula di De Moivre.

Bisogna elevare il modulo all'ennesima potenza e moltiplicare l'argomento per \(n\)

formula di De Moivre

$$ {\Large z^\color{#008080}{n} = \rho^\color{#008080}{n}(\cos \color{#008080}{n}\theta + i\sin \color{#008080}{n}\theta)} $$
$$ \diamond $$