Una delle formule più belle e importanti di tutta l'analisi complessa e non solo, è sicuramente la famosissima formula di Eulero scoperta verso il 1740. $${\large e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) }$$

Per capirne il significato, direi molto profondo e ricco di nozioni, bisogna, in primis cercare perlomeno di intuire il significato di \( {\large e^{i\theta} } \). Si tratta di un esponenziale particolare, perchè ad esponente riporta un numero immaginario. Possiamo tentare di giustificarne il significato, mediante gli sviluppi di Taylor. E questa forse una delle "dimostrazioni" più note in ambito accademico.

partiamo dunque dallo sviluppo dell'esponenziale reale

$$ e^x = \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots $$
Questo sviluppo essendo centrato in \( 0 \) è chiamato più presisamente sviluppo di Mac Laurin dell'esponenziale reale. Supponiamo che esso valga allo stesso modo per i numeri immaginari puri \( i\theta \), possiamo fare allora la sostituzione \( x = i\theta \) e riscrivere lo sviluppo come:
$$ {\large e^{i\theta}} = \sum_{k=0}^\infty\frac{(i\theta)^k}{k!} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2} + \frac{(i\theta)^3}{6} + \cdots $$

Ricordandoci ora il calcolo delle potenze di \( i \) con il metodo circolare che abbiamo visto in precedenza sappiamo che: $$ i^2 = -1 \hspace{1cm} i^3 = -i \hspace{1cm} i^4 = 1 $$ $$ i^5 = i \hspace{1cm} i^6 = -1 \hspace{1cm} i^7 = -i $$ Sviluppando i primi 8 termini e sostituendo il risultato del calcolo delle potenze di \( i \) otteniamo: $$ \begin{align} e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{-\theta^2}{2!} + \frac{-i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} + \frac{-\theta^6}{6!} + \frac{-i\theta^7}{7!} + \frac{\theta^8}{8!} + \cdots \end{align} $$ ordinando i termini immaginari da quelli puramente reali $$ \begin{align} e^{i\theta} = \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!}+ \frac{\theta^8}{8!} + \cdots \right) + i \left( \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \right) \end{align} $$ E' interessante osservare che i termini puramente reali sono tutti ad indice pari, e quelli immaginari ad indice dispari. Osserviamo adesso la formula di Eulero in alto è notiamo una netta somiglianza nella struttura della formula cui siamo pervenuti. Si tratta sostanzialmente di una forma rettangolare in cui parte reale e parte immaginaria sono due serie di potenze ad infiniti termini. $$ e^{i\theta} = \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!} \right) + i \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \right) $$ Sorprendentemente queste serie costituiscono gli sviluppi in \( 0\) di \( cos(\theta) \) e \( \sin(\theta) \), quindi si ha $$ e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) $$

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