Trasformare un numero complesso dalla forma trigonometrica a quella cartesiana è più semplice rispetto a quando visto in precedenza. Tuttavia in entrambe le trasformazioni abbiamo riscontrato una certa ambiguità nella determinazione dell'argomento. In seguito discuteremo più approfonditamente le problematiche relative alla determinazione dell'argomento. Ora concentriamoci sulla trasformazione:

Sia dato un numero complesso \( z \) espresso in forma trigonometrica \( z = \rho(\cos\theta + i\sin\theta) \). Dalle formule di trasformazione del seno e del coseno: $$ \begin{cases} x = Re(z) = \rho\cos\theta \\ y = Im(z) = \rho\sin\theta \\ \end{cases} $$ risulta assai semplice ricavare parte reale e parte immaginaria per poter esprimere lo stesso numero in forma rettangolare - infatti possiamo osservare che moltiplicando per \( \rho \): $$ z = \rho(\cos\theta + i\sin\theta) $$

$$ z = \underset{\underset{\LARGE Rez}{\uparrow}}{\underbrace{\rho\cos\theta}} + i\underset{\underset{\LARGE Imz}{\uparrow}}{\underbrace{\rho\sin\theta}} $$

ESEMPIO 1


Sia dato il numero complesso: $$ {\large z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}) }$$ Vogliamo trasformarlo in forma cartesiana. Il consiglio è di guardare in quale quadrante del piano complesso si trova \( z \) $$ x = \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = 1 $$ $$ y = \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = 1 $$ Pertanto in forma cartesiana \( z \) si esprime come:

$$ {\large z = 1+i } $$

$$ \diamond $$