Consideriamo l'emblema del prototipo di un polo. La funzione \( {1 \over z} \). Se una curva chiusa non circonda l'origine, sappiamo che l'integrale, per il Teorema di Cauchy è zero. Perchè la singolarità è fuori dall'interno della curva. $$ \oint_\gamma {1 \over z} dz = 0 $$

Come si è visto, se si valuta l'integrale lungo una qualunque curva che include la singolarità l'integrale non è più zero, ma è uguale al valore misterioso \( 2\pi i\). La cosa straordinaria è che il valore è indipendente dalla forma della curva stessa.

Se si approfondisce la questione, si scopre che tutto dipende da una cosa. Ogni quante volte giriamo intorno alla singolarità Cioè immaginate di piantare un bastone nel punto in cui c'è la singolarita, "anzi siccome si tratta di un buco" infilateci proprio il vostro bastone dentro!" Ora, se immaginate di tendere un filo attaccato al bastone e ruotare intorno ad esso vedete che il filo "si avvolge" intorno ad esso.

In modo del tutto analogo possiamo immaginare che la curva si avvolge intorno alla singolarità. Definiamo a tal proposito il cosiddetto Indice di avvolgimento: $$ avv_\gamma(z_0) $$ in questo modo si capisce di più quello che succede, infatti per essere più precisi il valore dell'integrale è moltiplicato per il numero di avvolgimenti: $$ \oint_\gamma {1 \over z} dz \cdot avv_\gamma(z_0) $$

Vi faccio osservare che questa formula è i accordo con il teorema di Cauchy. Infatti se la singolarità è fuori dalla curva, vuol dire che l'indice di avvolgimento è 0.