La prima caratteristica dell'integrazione complessa riguarda i cosiddetti domini semplicemente connessi. Un dominio si dice semplicemente connesso, se, oltre ad essere "connesso" (cioè, tutto di un pezzo), esso non ha "buchi". Ad esempio, se consideriamo una "ciambella piatta", su un foglio (i matematici la chiamano "corona circolare"); questa figura è connessa ma non semplicemente connessa, perchè c'è un buco centrale.

Supponiamo di considerare un sottoinsieme \( \mathrm A \subseteq \mathbb C\) semplicemente connesso (abbreviato: s.c.), ed una curva chiusa e regolare \( \gamma \), tutta contenuta in questo sottoinsieme \( \mathrm A\). Succede allora, una cosa sorprendente:

Integrale su un cammino chiuso in un dominio s.c. $$ \oint_\gamma f(z)dz = 0 $$

L'integrale esteso ad una curva chiusa in un dominio semplicemente connesso è nullo

Come mai avviene questo? Il motivo è legato alle proprietà dell'integrale complesso ed alle condizioni di C.R. .