Questa è la proprietà fondamentale su cui si fonda la nozione di primitiva complessa. Anche sè siamo in 2 dimensioni ed i cammini di integrazione sono infiniti (\(\infty)\), si scopre, con molta soddisfazione un fatto assa sorprendente! Sotto certe condizioni determinati cammini si possono "inglobare" in un unico "cammino equivalente", allo stesso modo in cui accade per le frazioni.

Gli ingredienti

\( f \in \mathbb{Hol(\mathrm A)} \) \( \mathrm A \subseteq \mathbb C\) \( z_0 \in \mathrm A\) \( z \in \mathbb C\) \( \gamma \in \mathrm A\)

Posizioniamoci in un sottoinsieme aperto \( \mathrm A \subseteq \mathbb C\). Consideriamo una curva regolare \( \gamma_{z_0}^z \) i di estremi \( z_0\) e \( z\), contenuta in \( \mathrm A \). Allora vale il seguente fatto: $$ F(z) = \int_\gamma f(\zeta)d\zeta $$

E' indipendente dal cammino! Questo significa che se scelgo un'altra curva (purchè sia regolare con gli stessi estremi) il valore dell'integrale è lo stesso. Possiamo quindi dimenticarci della natura di queste curve è conentrarci solo sugli estremi. Anzi, possiamo costruire una funzione che associa ad ogni coppia di estremi il valore dell'integrale. Questa funzione è proprio la nostra definizione di primitiva $$ \int_\gamma f(\zeta)d\zeta = F(z) - F(z_0) $$


Osservazione:
Come vi accennavo in precedenza, possiamo paragonare le classi dei cammini equivalente, alle classi delle frazioni equivalenti. Ad esempio tutte le frazioni \( \left\{ {1\over 2}, {2\over 4}, {8\over 16} ...\right\} \), rappresentano lo stesso numero, che di solito corrisponde (per semplicità alla sua versione ridotta \( {1 \over 2}\). Per i cammini vale lo stesso. In questo caso, mentre una frazione è identificata dai suoi "minimi termini" una classe di cammini è identificata dai suoi estremi. Vi faccio osservare che entrambi gli oggetti "frazione" e "cammino" vengono identificati da una "coppia" di numeri, quello che conta è il "significato" di questi numeri!