Consideriamo una funzione \( f \) olomorfa. Sappiamo che essa è derivabile in senso complesso e per essa valgono le condizioni di Cauchy-Riemann

$$(\clubsuit) \begin{pmatrix} {\Large \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} } \\ {\Large \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} } \end{pmatrix} $$

Se proviamo a derivare ulteriormente le \( (\clubsuit) \) (supponendo che esse siano derivabili con continuità) otteniamo la relazione di Laplace $$ {\large \triangle f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 } $$ Le funzioni che godono di questa proprietà vengono chiamate funzioni armoniche. Come abbiamo appena dimostrato vale la seguente implicazione:
olomorfa \( \Rightarrow \) armonica:
ovvero tutte le funzioni olomorfe sono armoniche ma non vale il viceversa.