Le funzioni trigonometriche \( sin(z)\) e \( cos(z)\) sono anch'esse funzioni olomorfePer esse valgono le condizioni di Cauchy-Riemann. Vediamo con un po di calcoli come arrivarci.


ESEMPIO : Analiticità del seno

Come prima cosa possiamo scrivere la funzione \( \color{#008080}{sin(z)}\) esplicitando \( \color{#008080}{z}\) $$ \color{#008080}{sin(z) = sin(x+iy) }$$ Dalle formule di addizione sottrazione trigonometriche possiamo scrivere: $$ \color{#008080}{sin(x+iy) = six(x)cos(iy) + cos(x)sin(iy)} $$ Sapendo ora che valgono le seguenti relazioni di seno e coseno di numeri immaginari puri $$ \color{#008080}{\begin{align} sin(\heartsuit) = {e^{i\heartsuit} - e^{-i\heartsuit}\over 2i} \\ cos(\heartsuit) = {e^{i\heartsuit} + e^{-i\heartsuit}\over 2} \end{align}, \hspace{1cm} \heartsuit \in \mathbb C } $$ Abbiamo che: (sapendo che \( \heartsuit \equiv iy \) ) $$ \color{#008080}{sin(x+iy) = sin(x){e^{i(iy)} + e^{-i(iy)}\over 2} + cos(x){e^{i(iy)} - e^{-i(iy)}\over 2i}} $$ $$ \color{#008080}{sin(x+iy) = sin(x){e^{-y} + e^{y}\over 2} + cos(x){e^{-y} - e^{y}\over 2i}} $$ $$ \color{#008080}{sin(x+iy) = sin(x)cosh(y)+ icos(x)sinh(y)} $$ $$ \diamond\diamond\diamond $$

A questo punto bisogna verificare che valgano le condizioni di Cauchy-Riemann - C.R.:

$$ \begin{cases} {\partial u \over \partial x} = {\partial \bigl( sin(x)cosh(y) \bigr) \over \partial x } = cos(x)cosh(y) \\ {\partial v \over \partial y} = {\partial \bigl( cos(x)sinh(y) \bigr) \over \partial y } = cos(x)cosh(y) \end{cases} $$
$$ \begin{cases} {\partial u \over \partial y} = {\partial \bigl( sin(x)cosh(y) \bigr) \over \partial y } = sin(x)sinh(y) \\ -{\partial v \over \partial x} = -{\partial \bigl( cos(x)sinh(y) \bigr) \over \partial y } = sin(x)sinh(y) \end{cases}$$ $$ \square$$
$$ \diamond\diamond\diamond $$

Questo dimostra che la funzione \( sin(z)\) si comporta come la stessa funzione reale \( sin(x) \). Tutte le operazioni, di derivata, integrale, continuità, sviluppo in serie sono analoghe al caso reale. Stesso discorso per \( cos(z)\) che puoi provare a svolgere come esercizio ripercorrendo i passi di questa dimostrazione.