Una delle applicazioni tipiche delle condizioni di Cauchy-Riemann è la cosiddetta ricostruzione di una funzione analitica. In pratica il gioco è il seguente: io conosco la parte reale e voglio ricostruire la parte immaginaria mancante. Il tutto si può riassumere nei 4 passi.

  • PASSO 1 - Derivazione parziale
  • PASSO 3 - Derivazione totale
  • PASSO 4 - Confronto


ESEMPIO : Ricostruzione di una funzione analitica a partire dalla sua parte reale

Supponiamo di conoscere la parte reale di una ipotetica funzione analitica: $$ u(x, y) = x^2 - y^2 $$

Dalle condizioni di Cauchy-Riemann sappiamo che la funzione incognita \( v(x, y) \) che stiamo cercando è legata alla \( u(x, y)\) da una delle condizioni C.R.: $$ {\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} $$

Quindi derivando la \( u \) rispetto ad \( x \) $$ {\partial u \over \partial x} = {\partial (x^2 - y^2) \over \partial y} = 2x $$ Siccome \( 2x \) è anche la derivata di \( v\) rispetto ad \( y \) vuol dire che la nostra funzione incognita potra dipendere anche da una funzione della sola \( x\), tanto poi nella derivazione rispetto ad (\y\) la \(x \) è costante e sparisce: $$ v(x, y) = 2xy + \phi(x) $$ derivando ora rispetto ad \(x\) $$ {dv \over dx} = 2y + {d\phi \over dx} $$
Utilizzando l'altra condizione sappiamo che: $$ -{\partial v \over \partial x} = {\partial u \over \partial y} = 2y $$ quindi confrontando $$ \phi = k $$ La nostra funzione allora è la seguente: $$ x^2-y^2 + i(2xy+k) $$