Posizioniamoci nel piano complesso \( {\mathbb C} \). Qui vogliamo definire la nozione di derivata di una funzione complessa \( f(z) \) che indicheremo con la notazione di Leibniz: $$ {\large \frac{df(z)}{dz} } $$

Come per il caso reale, la definizione di derivata si basa sul l'esistenza del limite del rapporto incrementale della \( f \) (quando l'incremento tende a zero), solo che ora le nostre funzioni, sono funzioni complesse definite sul piano complesso e non su un intervallo di \( {\mathbb R} \). Come va inteso il rapporto incrementale?

Per capirlo ricordiamoci che \( f(z) \) essendo una funzione complessa a valori complessi è essa stessa un numero complesso, quindi avrà una parte reale \( u \) ed una parte immaginaria \( v \), (funzioni entrambe sia di \(x \) che di \( y \) ) come appena visto.

$$ {\large f(z) \longrightarrow f(x + iy) } $$
$$ {\large f(x + iy) \longrightarrow u(x, y) + iv(x, y) } $$

Per calcolare il rapporto incrementale dobbiamo dapprima scegliere un punto fisso \( z_0 \) e poi da esso ci dobbiamo spostare di un incremento \( \Delta z \) nel piano complesso. In quale direzione non è importante, ma siccome una funzione complessa \( f(z) \) può essere vista come una funzione a due variabili, le direzioni da considerare sono solo 2 e cioè le direzioni standard del piano complesso (vale a dire lungo \(x \) e lungo \( iy \)).

Calcoliamo quindi i rapporti incrementali e poi facciamone il limite a zero sull'incremento:


incremento lungo \( x \)
$$ \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z+\Delta z) - f(z)}{\Delta z} = $$ $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(u(x+\Delta x, y) +iv(x+\Delta x, y)) - (u(x, y) +iv(x, y))}{\Delta x} = $$ $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(u(x+\Delta x, y) - u(x, y)) + (iv(x+\Delta x, y)- iv(x, y))}{\Delta x} = $$ $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x, y) - u(x, y)}{\Delta x} + i \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{v(x+\Delta x, y)- v(x, y)}{\Delta x} = $$ $$ {\large \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}} $$
incremento lungo \( iy \)
$$ \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z+\Delta z) - f(z)}{\Delta z} = $$ $$ \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{(u(x, y + \Delta y) +iv(x, y + \Delta y)) - (u(x, y) +iv(x, y))}{i \Delta y} = $$ $$ \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{(u(x, y + \Delta y) - u(x, y)) + (iv(x, y + \Delta y)- iv(x, y))}{i \Delta y} = $$ $$ \require{cancel} \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{u(x, y + \Delta y) - u(x, y)}{i \Delta y} + \bcancel{i} \lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{v(x, y + \Delta y)- v(x, y)}{\bcancel{i} \Delta y} = $$ $$ {\large \frac{\partial v}{\partial y} -i\frac{\partial u}{\partial y} } $$

Ragioniamo su ciò che abbiamo fatto. Abbiamo calcolato il limite del rapporto incrementale lungo due direzioni differenti, ottenendo le due relazioni con le derivate parziali. Se vogliamo che la derivata sia ben definita (sia cioè sempre uguale indipendentemente dalla direzione dell'incremento scelto) bisogna eguagliare i due numeri complessi ottenuti e questo significa eguaglierne la parte reale e la parte immaginaria rispettivamente.

Le relazioni che otteniamo sono note come
Condizioni di Cauchy-Riemann
$$ {\Large \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} } $$ $$ {\Large \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} } $$

Per capire se una funzione è derivabile in campo complesso bisogna verificare se soddisfa le suddette relazioni.