La funzione modulo \( |z|\) a differenza di altre funzioni non è olomorfa. Infatti esplicitando parte reale \( u(x, y)\) e parte immaginaria \( v(x, y) \) $$ |z| = \sqrt{x^2+y^2} \rightarrow \sqrt{x^2+y^2} + i0 $$ La parte immaginaria è \( 0 \) (infatti il modulo è una funzione: \( |\heartsuit| : \mathbb C \rightarrow \mathbb R^+) \).


ESEMPIO : Non analiticità del modulo

E' banale verificare che le condizioni di Cauchy-Riemann - C.R.: Non possono essere soddisfatte (ad esempio la prima coppia di condizioni) si ha:

$$ \begin{cases} {\partial u \over \partial x} = {\partial \bigl( \sqrt{x^2+y^2} \bigr) \over \partial x } = {1 \over 2\sqrt{x^2+y^2}} 2x \\ {\partial v \over \partial y} = {\partial \bigl( 0 \bigr) \over \partial y } = 0 \end{cases} $$
inutile verificare la seconda coppia di condizioni. $$ \diamond\diamond\diamond $$

Come al solito, la "non olomorfia" del modulo si scopre banalmente dal fatto che il modulo si puo esprimere in funzione del coniugato di \( z\). Ricordati la "regola master" dove c'è il coniugato non c'è olomorfismo $$ |z| = \sqrt{zz^{\color{#cc0066}{*}}} $$