E' facile verificare, che la derivazione complessa, seppur apparentemente più articolata da svolgere (per via della presenza della parte reale ed immaginaria), si comporta allo stesso modo della derivazione reale. Per capirlo, proviamo a svolgere la derivata complessa della funzione \( z \rightarrow z^2 \).

$$ {d(z^2) \over dz} = lim_{\Delta z \to 0} {(z+\Delta z)^2-z^2 \over \Delta z} $$ $$ lim_{\Delta z \to 0} {(x+iy +\Delta x +i\Delta y)^2-(x+iy)^2 \over \Delta x +i\Delta y} = lim_{\Delta z \to 0} {(x+\Delta x +i(y+\Delta y))^2-(x+iy)^2 \over \Delta x +i\Delta y} $$

Proviamo a valutare la derivata parziale lungo \( x\), mantenendo costante la \( y\):

$$ lim_{\Delta x \to 0} {(x+\Delta x)^2-x^2 \over \Delta x } = lim_{\Delta x \to 0} {x^2+2x\Delta x + \Delta x^2 -x^2 \over \Delta x } = lim_{\Delta x \to 0} {(x+\Delta x)^2-(x)^2 \over \Delta x } $$


$$ \diamond\diamond\diamond $$

Teorema Ponte

Consideriamo due funzioni di variabile complessa \( f: \mathrm A \rightarrow \mathbb C \) e \( g: \mathrm A \rightarrow \mathbb C \) definite sullo stesso sottoinsieme \( \mathrm A \subseteq \mathbb C \). Allora valgono i seguenti teoremi, validi in ambito reale.

Additività della derivata complessa

$$ {d(f+g)\over dz} = {df\over dz} + {dg\over dz} $$

Omogeneità della derivata complessa

$$ {d(kf)\over dz} = k{df\over dz} $$

Mettendo assieme Additività ed Omogeneità, si ottiene la proprietà di linearità della derivata complessa, oppure si dice in gergo che la derivata complessa è un operatore lineare e si indica più in generale:

Linearità della derivata complessa

$$ {d\left( \sum_{j=1}^n c_jf_j\right) \over dx} = \sum_{j=1}^n c_j{df_j\over dz}$$

Regola di Leibnitz

$$ {d(fg)\over dz} = {d(f)\over dz}g + f{d(g)\over dz} $$

Derivata del quoziente

$$ {d({f\over g})\over dz} \overset{f'(z) \neq 0}{=} {d(f)\over dz}g - f{d(g)\over g^2} $$

Regola della catena

$$ {d(g \circ f)\over dz} = {d(g(f))\over dz} = {df\over dg}{dg\over dz} $$

Come esercizio di preriscaldamento provate a dimostrare (aiutandovi con qualche esempio numerico) le suddette proprietà