L'insieme dei vettori (di lunghezza \( 1\) "versori") (linearmente indipendenti), cioè non multipli tra di loro, \( (1, 0, 0) \), \( (0, 1, 0) \), \( (0, 0, 1) \) forma la cosiddetta base canonica fondamentale di \(\mathbb R^3 \). Tradizionalmente la base canonica è indicata con gli elementi \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \), ma in letteratura, negli spazi ad \(n\) dimensioni, li trovate anche indicati come \( \hat{e_1}, \hat{e_2}, \hat{e_3} \).

$$ \hat{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \hspace{3mm} \hat{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \hspace{3mm} \hat{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

In questo modo, ricordando la definizione di generatori e di base di uno spazio vettoriale, ogni trivettore si può esprimere come combinazione lineare dei vettori di base in un unico modo: $$ x = x_1\hat{i} + x_2 \hat{j} + x_3\hat{k} $$ Restano così definite univocamente le componenti del vettore rispetto alla base. Se cambiamo base, cambiano le componenti. Se usiamo la base canonica le componenti corrispondono esattamente ai coefficienti della combinazione lineare (da quì il termine base "canonica").

Bisogna da subito fare una distinzione fondamentale, tra le componenti, che sono numeri reali (scalari) e sono \( x_1, x_2\) ed \( x_3\), ed i vettori componenti che sono dei vettori ( \(x_1\hat{i}, x_2 \hat{j}, x_3\hat{k}\) ), la cui somma da il vettore \( x\). Questi vettori si ottengono dal prodotto dei versori con le componenti (da quì il nome "vettori componenti"). Essi hanno modulo pari alle componenti e direzione pari a quella dei versori fondamentali - si parla anche di decomposizione vettoriale standard o canonica.

$$ \diamond $$