Il primo oggetto che studiamo è la curva. Immaginate una linea nello spazio; sapreste definire formalemente (con dei simboli matematici) una linea? Per prima cosa possiamo dire che si tratta sicuramente di un insieme di punti, tutti vicini "attaccati", l'un l'altro a formare una sequenza... ma non basta, così facendo stiamo definento un oggetto molto generico, ad esempio una spezzata rientra in questa definizione, ma anche un segmento... o ancora peggio una succesione di punti spaziati. Ciò di cui abbiamo bisogno sono delle curve continuee, nel senso che idealmente (se le disegnassi con una penna, non dovrei mai staccarla dal foglio)

discontinua

continua e non derivabile

liscia


Queste curve, però hanno un difetto: "gli spigoli". I matematici si riferiscono a questo tipo di problematiche con il termine regolare. Una curva è regolare, quando è differenziabile ovvero, esiste in ogni punto la retta "tangente", che "approssima" localmente la curva, vi sfido ad immaginare come sarebbe possibile definire una retta tangente in uno spigolo! Una curva spigolosa, con dei "salti" o dei buchi ed altre diavolerie varie, non ci soddisfa, in quanto non gode di una serie di proprietà fondamentali per i nostri scopi; le curve regolari invece sì; addirittura una curva può essere differenziabile infinite volte (si dice che è di classe \(C^{\infty} \)) o che è liscia e si parla di "lisciezza" (smoothness). Ebbene queste curve saranno l'oggetto delle nostre avventure...


Modello matematico di curva

Matematicamente, una curva è un vettore variabile, fisicamente è una traiettoria di un punto che si muove nello spazio, ma per questo vi rimando al corso di meccanica. Concentriamoci sul punto di vista matematico e geometrico. Un punto nello spazio (o un trivettore), voi sapete, ha tre componenti, rispetto al sistema di riferimento in cui giace. Se immaginiamo che questo punto si sposti nel tempo e quindi che generi una curva (intesa come luogo geometrico), allora le sue componenti sono delle funzioni reali dipendenti da un parametro, di solito \( t\), per l'analogia cinematica, e \( \gamma(t) \) prende il nome di legge oraria del punto. $$ \gamma: [a, b] \rightarrow \mathbb R \hspace{2cm} \gamma(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\ y(t)\\ z(t) \end{pmatrix} $$

Se le funzioni \( x(t), y(t), z(t)\) sono regolari, allora la curva \( \gamma\), essendo la loro composizione, risulta anch'essa regolare. L'insieme delle tre funzioni, si chiama parametrizzazione della curva. Una parametrizzazione è una sorta di "mappa", che associa ad un numero, un vettore (o punto di \( \mathbb R^3\)); inoltre la curva esiste indipendentemente dalla parametrizzazione; anche perchè di parametrizzazioni ne esistono infinite!

ESEMPIO


Come esempio, consideriamo la seguente parametrizzazione, che descrive una curva nello spazio: $$ \gamma(t)=\begin{cases} x(t) = \rho cos(t)\\ y(t) = \rho sin(t)\\ z(t) = t \end{cases} \hspace{1cm} t \in [0, 4\pi] $$ Si tratta di una curva a forma di elica, infatti le prime due coordinate, descrivono un cerchio, mentre la coordinata lungo \( z\) aumenta linearmente di quota; risultato, lo vedete nel grafico:

Curva ad elica in \(\mathbb R^3\)

Vi faccio osservare, inoltre che la parametrizzazione, stabilisce anche un verso di percorrenza sulla curva.

$$ \diamond $$