Calcoliamo la lunghezza di una circonferenza di raggio \( R\) centrata nell'origine. Dalla geometria elementare tutti sappiamo che questo valore è \( 2\pi R\). Verifichiamo questo risultato mediante la definizione di lunghezza di una curva.

Una possibile parametrizzazione per la circonferenza è: $$ \begin{cases} x(t) = Rcos(t) \\ y(t) = Rsen(t) \end{cases} $$

Per calcolare la lunghezza bisogna far variare il parametro \( t\) nell'intervallo \( [0, 2\pi]\) e calcolare il seguente integrale al differenziale d'arco: $$ \color{#008080}{\int_0^{2\pi}\sqrt{(Rcos(t))^2 + (Rsen(t))^2}dt = \int_0^{2\pi}\sqrt{R^2(sen^2(t) + cos^2(t))} = \int_0^{2\pi} \sqrt{R^2} = 2\pi R}$$

$$ \diamond $$