Consideriamo una curva regolare \( \gamma \) definita su un intervallo \( \mathrm I = ]t_1, t_2[ \), quindi ivi differenziabile a valori in \( \mathbb R^3\). Vogliamo calcolare la sua lunghezza, che sarà un numero positivo rappresentativo di quante unità di misura del riferimento sono contenute nel grafico della curva. Si definisce lunghezza della curva il seguente integrale:

$$ \large S_{t_1, t_2} = \int_{t_1}^{t_2} |\overset{\large \cdot}{\gamma}(t)| dt $$
Il differenziale d'arco

Per capire il motivo della formula, osserviamo anzitutto che si tratta di un integrale su una curva, quindi di una somma di infiniti elementi infinitesimi. L'integranda è \( |\overset{\large \cdot}{\gamma}(t)| dt \), ossia l'elemento infinitesimo d'arco o differenziale d'arco \( d\gamma \). Se esplicitiamo la norma o modulo sappiamo che:

$$ |\overset{\large \cdot}{\gamma}(t)| = \sqrt{\overset{\large \cdot}{x}^2(t) + \overset{\large \cdot}{y}^2(t) + \overset{\large \cdot}{z}^2(t) } = |d\gamma| $$

Il significato dell'integrale, possiamo visualizzarlo impiegando la notazione per la derivata "alla Leibniz", infatti:

$$ S_{t_1, t_2} = \int_{t_1}^{t_2} \overset{|d\gamma|}{\overbrace{|\overset{\large \cdot}{\gamma}(t)| dt}} = \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2 + \left({dz \over dt}\right)^2 } dt $$ $$ \downarrow $$ $$ \require{cancel} \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2 + \left({dz \over dt}\right)^2 } = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{{dx^2 \over \bcancel{dt^2}}\bcancel{dt^2} + {dy^2 \over \bcancel{dt^2}}\bcancel{dt^2} + {dz^2 \over \bcancel{dt^2}}\bcancel{dt^2}} $$ $$ \downarrow $$ $$ \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} = \int_{t_1}^{t_2}|d\gamma| $$
Parametrizzazione intrinseca

Il valore \( |\overset{\large \cdot}{\gamma}(t)| \) rappresenta la derivata della funzione "lunghezza" \( {ds \over dt}\) ossia il modulo del vettore velocità. Quando questo valore è \( 1\) si dice che la curva è parametrizzata dalla lunghezza. In questo caso il vettore velocità è costante in modulo unitario per ogni punto della curva ed inoltre si ha che: $$ \int_{t_1}^{t_2}dt = t_1-t_0 = mis(\mathrm I) $$

$$ \diamond $$