In \( \mathbb R^3\) è possibile definire un prodotto scalare fra due trivettori, questo induce una norma, la quale a sua volta induce una metrica e quindi una topologia (gli intorni) per così dire... \( \mathbb R^3\) può essere visto, anzi, assume una struttura di spazio di Hilbert (per la presenza del prodotto scalare), di spazio di Banach (perchè il prodotto scalare mi genera una norma, ed inoltre \( \mathbb R^3\) è completo), di spazio metrico euclideo (perchè la norma mi genera una metrica (distanza tra due punti)) ed infine di spazio topologico (perchè attraverso la distanza possiamo definire gli intorni aperti, quindi una topologia)...

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Prodotto Scalare

Il prodotto scalare tra due elementi \( x\) ed \( y\) è un numero reale che si indica con uno dei seguenti modi \( \langle x, y \rangle\) oppure (\( x \cdot y\)) oppure \( (x, y)\) (io preferisco le parentesi angolari "braket" che si usano spesso in meccanica quantistica (le famose parentesi alla Dirac)). Il prodotto scalare è definito nel seguente modo: $$ \langle x, y\rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 $$

La somma dei prodotti delle componenti corrispondenti.

Il prodotto scalare o (interno) è una forma bilineare, simmetrica e definita positiva che indica sostanzialmente la posizione mutua di due trivettori (nel caso di \( \mathbb R^3\) e più in generale in \( \mathbb R^n\)). E' correlato al concetto di perpendicolarità, questo significa che è una sorta di "segnalatore" o indicatore dell'orientazione di due elementi dello spazio. Si dimostra, (vedi corso algebra lineare), che il prodotto scalare si può esprimere ne seguente modo: $$ {\large \langle x, y\rangle = ||x||{\small \cdot}||y||cos\theta } $$ Tradotto: modulo del primo, per il modulo del secondo, per il coseno dell'angolo compreso. Ebbene se l'angolo tra i vettori è retto (\(90°\) ) (i vettori sono perpendicolari: \( x \perp y\)), il coseno è nullo, quindi il prodotto scalare è nullo. Esso risulta minimo, quando i due vettori sono l'uno l'opposto dell'altro \( cos(180) = -1 \), (massimo quando i due vettori sono paralleli ed hanno lo stesso verso: \( cos(0) = 1\))

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Norma indotta

Se proviamo ad calcolare il prodotto scalare di un vettore per se stesso \( \langle x, x\rangle \) otteniamo immediatamente, dalla formula precedente: $$ \langle x, x\rangle = ||x||{\small \cdot}||x||cos0 = ||x||^2 $$ $$ {\Large \langle x, x\rangle = ||x||^2 } $$ E quindi, la norma (norma indotta) $$ {\Large ||x|| = \sqrt{\langle x, x\rangle} } $$

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