Per cominciare, iniziamo col definire lo spazio in cui muoveremo i primi passi. Il modello matematico che tratteremo è lo spazio euclideo tridimensionale \( \mathbb R^3\). In questa sezione vi darò alcuni richiami introduttivi, delle nozioni che ci serviranno per proseguire il discorso della geometria differenziale, maggiori approfondimenti li trovate nel corso di algebra lineare. Fatte le dovute premesse, possiamo iniziare:

\( \mathbb R^3\) è uno spazio euclideo tridimensionale reale. Gli elementi di \( \mathbb R^3\) sono terne ordinate formate da numeri reali. Una terna reale di solito la rappresentiamo come un insieme di numeri allineati in riga o in colonna dove l'ordine assume un ruolo centrale (le terne \(( 1, 2, 3) \) e \(( 2, 1, 3)\), sono diverse), queste terne di solito vengono chiamate trivettori e vengono indicate con una lettera tipo \(v\) oppure \( w\). Molti autori mettono la freccia in alto \( \overset{\rightarrow}{v}\) oppure una linea \( \overline{v} \) per indicare che l'elemento è un vettore e non un numero, io vi consiglio fin dall'inizio di non usare nulla, il contesto chiarirà se stiamo parlando di vettori o di scalari.

$$ \color{#3258a8}{ {\Large \mathbb R^3 } = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \hspace{1mm}|\hspace{1mm} x_1 \in \mathbb R, x_2 \in \mathbb R, x_3 \in \mathbb R\right\} } $$

I numeri \( x_1, x_2, x_3\) sono le componenti del trivettore, ogni elemento \( x_i \in \mathbb R\) (appartiene all'insieme dei numeri reali). Il fatto saliente di questo insieme e che esso rispecchia lo spazio in cui viviamo. Come vederemo in seguito, \(\mathbb R^3\) gode di numerosissime proprietà ed esso ottempera a diverse strutture, infatti è spazio metrico, spazio di Banach e spazio di Hilbert; in parole semplici, esso è l'ambiente perfetto per poter sviluppare tutto il calcolo differenziale sulle superfici...

$$ \diamond $$