Abbiamo visto che se una curva è regolare, allora è possibile definire la retta tangente in ogni suo punto. Vediamo come si fà:

Prendiamo una curva, naturalmente, "regolare" e consideriamo un punto \( P\) appartenente alla curva stessa. Ovviamente esisterà un istante o un valore \( t_0 \in [a, b]\) tale per cui il raggio vettore $$ r(t_0) = \begin{pmatrix} x(t_0) \\ y(t_0) \\ z(t_0) \end{pmatrix} $$ mi punterà a \(P\). Il raggio vettore è applicato nell'origine è mi da la posizione del punto, lo chiamiamo, molto spesso il vettore posizione, perchè mi indica, la posizione del punto, relativamente al sistema di riferimento in cui ci troviamo.

Ora facciamo la seguente cosa:
Consideriamo un intervallo di tempo finito \( \Delta t \). Se consideriamo il punto \( P\) dopo un tempo \( \Delta t\), notiamo che esso, e quindi il suo vettore posizione si è mosso, nella posizione relativa all'istante \( t_0 + \Delta t\), per cui, le nuove coordinate saranno: $$ r(t_0 + \Delta t) = \begin{pmatrix} x(t_0 + \Delta t) \\ y(t_0 + \Delta t) \\ z(t_0 + \Delta t) \end{pmatrix} $$

Rapporto incrementale vettoriale

Misuriamo con la seguente frazione detta rapporto incrementale, la variazione della posizione rispetto al parametro \(t\). \( \left( \frac{r(t_0 +\Delta t)-r(t_0)}{\Delta t} = \frac{\Delta r}{\Delta t} \right)\) Il significato che assume questo valore in fisica è la velocita media del punto nello spostamento da \( t_0\) a \( t_0 + \Delta t\). In figura è mostrato il vettore che rappresenta il numeratore del rapporto incrementale, cioè, la differenza tra la posizione finale ed iniziale, il tutto viene poi riscalato, operando la divisione per \( \Delta t\).

Incremento e spostamento
Vettore tangente


Vettore tangente

Se ora riduciamo, l'intervallo \( \Delta t\), fino a renderlo infinitesimo (si indica con "\( dt\)", e si legge "de t", vedete che il vettore "differenza", la cui direzione, passa per i punti \( P\) e \( P'\) si approssima sempre più alla tangente in \( P\), nel limite del rapporto incrementale, (quando \( dt \rightarrow 0\)) abbiamo il vettore tangente nel punto \(P\) $$ \lim_{dt \to 0} \frac{r(t_0+\Delta t)- r(t_0)}{\Delta t} = \begin{pmatrix} \lim_{dt \to 0} \frac{x(t_0+\Delta t)- x(t_0)}{\Delta t} \\ \lim_{dt \to 0} \frac{y(t_0+\Delta t)- y(t_0)}{\Delta t} \\ \lim_{dt \to 0} \frac{z(t_0+\Delta t)- z(t_0)}{\Delta t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \end{pmatrix}= \frac{dr}{dt} $$
Il vettore tangente, rappresenta la velocità istantanea nel punto \( P\). Si ottiene semplicemente, calcolando le derivate delle componenti del vettore posizione rispetto al parametro \( t\). Talvolta, specie in fisica, si usa indicare l'operazione di derivata prima con un puntino (alla Newton, mentre la notazione \( \frac{d}{dt}\) è dovuta a Leibniz), pertanto il vettore tangente lo trovate spesso indicato come: $$ \overset{\Large \cdot}{r} = \begin{pmatrix} \overset{\Large \cdot}{x(t)} \\ \overset{\Large \cdot}{y(t)} \\ \overset{\Large \cdot}{z(t)} \end{pmatrix} = \frac{dr}{dt} $$

$$ \diamond $$