Il concetto di derivata covariante è un pilastro della geometria differenziale. Il consiglio è quello di dedicarci un pò di tempo per carpirne a fondo i dettagli intrinseci, in modo da poter padroneggiare questo strumento estremamente importante.

L'idea di della derivata covariante è dovuta ai due geni: professore ed allievo Gregorio Ricci Curbastro e Tullio Levi Civita , tra l'altro fondatori del Calcolo Tensoriale Assoluto che ci terrà impegnati in seguito (nella seconda parte di questo corso). Il problema è nato da un fatto geometrico... quando si calcola una derivata vettoriale, pensate alla velocità, lungo una curva, si ottiene un vettore tangente alla curva (ma non appartenente alla curva!).

voi direte, nulla di strano... d'accordo, finche abbiamo uno "spazio contenitore" non ci sono problemi, ma se questo spazio contenitore venisse a mancare? come possiamo descrivere un vettore che "esce, scappa via dalla nostra superficie". Il problema di Ricci e Levi Civita riguardava l'accelerazione di campi vettoriali lungo curve sulle superfici. Per capirlo, entriamo più nel dettaglio.

Mettiamoci nella situazione standard, di una superficie \( S\) parametrizzata in uno spazio euclideo e consideriamo una curva ed un campo vettoriale \( \mathrm A = a_1(u, v)\partial_u + a_2(u, v)\partial_v \) (tangente) alla curva \( \overset{\large \cdot}{\zeta} \) nella superficie. come in figura

derivata covariante

Cerchiamo ora di descrivere la figura: Abbiamo la nostra superficie \( S\) immersa nello spazio. La superficie è parametrizzata come visto in precedenza da tre funzione di due variabili \( u, v\). Una curva \( \zeta \), attraverso la parametrizzazione è mappata in una curva \( \overset{\large \cdot}{\zeta} \) nella superficie. Consideriamo il campo vettoriale \( \mathrm A \). Restringiamoci alla sola curva di modo che il campo sia tangente alla suddetta curva. $$ \mathrm A = a_1(u(\zeta(t)), v(\zeta(t)))\partial_u + a_2(u(\zeta(t)), v(\zeta(t)))\partial_v $$

Il campo vettoriale varia, naturalmente punto per punto, infatti dipende dalla parametrizzazione \( u, v\); inoltre siccome ci siamo ristretti alla curva, abbiamo messo \( \zeta(t) \) come argomento di \( u, v\). Il campo, come già visto, appartiene al piano tangente \( T_p(S)\) il quale cambia di volta in volta (base), quindi componenti.

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Definizione di derivata covariante

Fatta questa premessa essenziale per preparare il terreno alla definizione, ora arriva "il bello". Se proviamo a derivare il campo vettoriale \( A \), accade una cosa "tremenda"! La derivata (classica) \( {dA \over dt} \) esce fuori dal piano tangente! "Per mille fulmini!" come possiamo esprimere la derivata (che è un vettore) come combinazione dei vettori indotti dalla parametrizzazione se (questa non appariene più al piano tangente)? E quì c'è il colpo di genio. Si considera la sua "proiezione sul piano tangente..." ed il gioco è fatto!

La derivata covariante è la proiezione della derivata ordinaria sul piano tangente $$ {\mathbb D A\over dt} $$
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