Se avete ben chiaro cosa sono le coordinate polari e come si opera con esse, passare alle coordinate cilindriche è letteralmente un "gioco da ragazzi". Esse infatti sono la versione 3D delle coordinate polari. Cosa significa questo? Significa che le coordinate polari individuano punti nel piano, mentre le cilindriche aggiungono alle polari l'altezza (quota) \( z\), ottenendo quindi la terna delle coordinate cilindriche \(\rho, \theta, z \)

Perchè si chiamano "cilindriche"? Chi ha parlato di cilindri? Nessuno, ma tra poco vi farò vedere che effettivamente dietro le quinte si nasconde un vero cilindro! Iniziamo, dapprima, con le formule di trasformazione, che, come visto per le coordinate polari, ci permettono di passare dalle cartesiane alle cilindriche e viceversa a seconda dei gusti e delle convenienze...

Formule di trasformazione

$$ \large \begin{cases} x = \rho cos(\theta) \\ y = \rho sen(\theta) \\ z = z\end{cases} $$

La semplicità sta tutta in \( z\)! Il passaggio alla terza dimensione è indolore, abbiamo semplicemente aggiunto la possibilitò di spostarci linearmente, verso l'alto o verso il basso di una quantità \( z\) per rappresentare punti 3-dimensionali.


Superfici coordinate cilindriche

Possiamo visualizzare le coordinate cilindriche attraverso 3 superfici, dette, per l'appunto: superfici coordinate, cilindriche in questo caso, esse sono, un piano, un semipiano e naturalmente, un cilindro.


Il semipiano (in verde) è rappresentato da tutte le terne aventi \( \theta = costante \), si tratta di una superfice \( \theta(\rho, z)\), infatti avendo fissato l'angolo, al variare di tutti i raggi \( \rho\) e di tutte le quote \(z\) se ci pensate, si ottiene un semipiano. Tutti i punti della forma \( (\rho, \theta_0, z)\) appartengono al semipiano.

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Il piano (in azzurro) è rappresentato da tutte le terne aventi \( z = costante \), si tratta di una superfice \( z(\rho, \theta)\), infatti avendo fissato una quota, al variare di tutti i raggi \( \rho\) e di tutti gli angoli \(\theta\) se ci pensate, si ottiene un piano ad altezza \( z\)! Tutti i punti della forma \( (\rho, \theta, z_0)\) appartengono al piano.

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Il cilindro (in rosso) è rappresentato da tutte le terne aventi \( \rho = costante \), si tratta di una superfice \( \rho(\theta, z)\), infatti avendo fissato il raggio, al variare di tutti gli angoli \( \theta\) e di tutte le quote \(z\) se ci pensate, si ottiene un cilindro (un cerchio eseteso lungo l'asse delle quote)! Tutti i punti della forma \( (\rho_0, \theta, z)\) appartengono al cilindro.

$$ \diamond $$

Ed ora arriva la domanda da un milione di dollari! Un singolo punto, geometricamente da cosa è rappresentato? Naturalmente dall'intersezione di tutte e tre le superfici!

Questa intersezione, possiamo vederela come una terna i cui valori sono tutti e tre costanti: \( (\rho_0, \theta_0, z_0) \)

Facendo variare, una sola coordinata e mantendo, fisse le atre due si ottengono altri luoghi geometrici notevoli: Se blocco il raggio e la quota, ottengo dei cerchi; tutti i punti \( (\rho_0, \theta, z_0) \) formano un cerchio, questo è banale, perchè \( \theta \) assume tutti i valori, mentre le altre variabili sono fissate. Se blocco l'angolo e la quota, ottengo una semiretta (l'intersezione del piano e del semipiano), le terne sono date da: \( (\rho, \theta_, z_) \). Se blocco il raggio e l'angolo, ottengo